Középértékek
A középértékek és nagyságuk összehasonlítása különböző megközelítésben.
Table of Contents
- Számtani és mértani közép
- Számtani és mértani közép
- Középértékek a háromszögben
- Középértékek
- Középértékek koordináta-rendszerben
- Középértékek koordináta-rendszerben
- Középértékek a geometriában
- Középértékek a geometriában
Számtani és mértani közép
Mit vizsgálunk?
Sokszor hallottad a kérdést: „Mennyi lett az átlagod?”. Megtanultad kiszámolni is azt. Talán már azt is hallottad, hogy ilyenkor a jegyeid számtani közepét adod meg. Vagyis több számot helyettesítünk egyetlen értékkel, ami „tömörítve” jellemzi az osztályzataidat.[br]Egy másik kérdés: [br]Adott egy téglalap két oldalával. Mekkorák a vele azonos területű négyzet oldalai? Ezekre a kérdésekre keressük a választ a számegyenes segítségével.
Ez az interaktív alkalmazás a számtani és mértani közép számegyenesen történő megjelenítésével vizuális segítséget ad a téma feldolgozásához.
Adott két pozitív szám. Jelölje [math]A[/math] azt a pontot, mely az alábbi kérdésre adott válaszod lenne: „Keress olyan pozitív számot a számegyenesen, amely annyival nagyobb a kisebb számnál, mint amennyivel kisebb a nagyobbnál!”[br][br]Jelölje [math] G[/math] azt a pontot, melyhez a következő feladat tartozik: [br]„Adott két pozitív szám. Keress olyan számot a számegyenesen, amely annyiszorosa a kisebbnek, mint ahányad része a nagyobbnak!”[br][br]Vizsgálj különböző kiindulási helyzeteket! Próbáld megtippelni a megfelelő pont helyét a számegyenesen, aztán ellenőrizheted a helyességét a pont „odahúzásával”! Ha megfelelő helyre került a pont, akkor a szakasz színe megváltozik a ponthoz tartozó felirattal együtt.
1. feladat
Lehetséges-e, hogy a számtani vagy a mértani középnek megfelelő pont [b]ne[/b] a [i][math]PQ[/math][/i] szakaszon helyezkedjen el?
2. feladat
Hányféle sorrendje lehetséges ennek a négy pontnak? Ezek közül melyek állhatnak elő akkor, ha helyesen állítjuk be a közepeknek megfelelő két pont helyét?
3. feladat
Mikor esik egybe a két középérték?
Középértékek
Bevezető
Adott két pozitív szám [i]a[/i] és [i]b[/i]. Legyen [i]AB[/i] szakasz hossza e két szám összege úgy, hogy [i]AD[/i] = [i]a[/i] és [i]BD[/i] = [i]b[/i]! [br]Tekintsünk egy [i]AB [/i]átmérőjű félkört! [i]A D[/i] ponton átmenő, AB-re merőleges egyenes és a körív metszéspontja legyen [i]C[/i]! Hasonlítsuk össze a [i]DC[/i] szakasz hosszát a sugárral! Milyen kapcsolat van a [i]DC[/i] és [i]EO[/i] ([i]AO[/i] = [i]OB[/i] = [i]r[/i]) szakasz hossza között, ha [i]EO[/i] merőleges [i]AB[/i]-re?
Feladat
Fejezzük ki az [i]EO[/i] = [i]r[/i] szakasz és a [i]DC[/i] szakasz hosszát [i]a[/i] és [i]b[/i] segítségével! Probléma esetén javasoljuk a segítségek használatát!
Kapcsolat a valósággal
Milyen következtetést vonhatunk le a megfigyelés alapján az [i]a[/i] és [i]b[/i] számtani és mértani közepére nézve?
1. kérdés
Mikor esik egybe a két középérték? Hogyan láthatjuk ezt az ábrán?
2. kérdés
Hogyan szerkeszthető meg a számegyenesen a két pozitív szám számtani közepének helyét jelölő pont?
3. kérdés
Hogyan szerkeszthető meg a számegyenesen a két pozitív szám mértani közepének helyét jelölő pont?
4. kérdés
Hol helyezkedik el ez a pont a számegyenesen az [i]a[/i]-t és [i]b[/i]-t megadó két ponthoz képest, illetve a számtani közepüket megadó ponthoz képest?
Középértékek koordináta-rendszerben
Vajon hányféle „közepe” lehet két pozitív számnak? Mi mondható el ezekről, azon[br]kívül, hogy két szám valamely középértéke a két szám között helyezkedik el?
A koordináta-rendszerben megjelenítjük két pozitív szám négy különböző középértékét. Szeretnénk, ha láthatóvá válna a középértékek változása, egymáshoz viszonyított nagysága.
Alkalmazás
1. kérdés
Hogyan lehet képlettel felírni a [math]p[/math] és [math]q[/math] pozitív számok számtani ([math]A[/math]), mértani([math]G[/math]), harmonikus ([math]H[/math]) és négyzetes ([math]N[/math]) közepét?
2. feladat
Milyen összefüggés olvasható le ezen középértékek egymáshoz viszonyított nagyságáról adott [math]p[/math] és [math]q[/math] értékek esetén?
3. feladat
Most [math]p[/math] értékét adottnak vesszük ([i]P[/i] pont fix) és [math]q[/math] értékét változtatjuk. Tekintsük azokat a pontokat, melyeknek első koordinátája [math]q[/math] értéke, második koordinátája pedig [math]p[/math] és [math]q [/math]valamely középértéke. Vajon [math]q[/math] értékének változtatásával milyen görbén fognak mozogni ezek a pontok? [br]Erre kaphatsz választ az interaktív alkalmazás használatával!
Középértékek a geometriában
Gondoltad volna, hogy egy trapézban megjeleníthető mind a négy nevezetes középérték? És még a köztük fennálló nagyságrendi viszonyok is rögtön láthatók!
[size=100]Egy szimmetrikus érintőtrapézban szeretnénk megjeleníteni az alapok felének[br]különböző középértékeit.[br][/size]
Emlékeztető
Emlékeztetőül: Hogyan lehet képlettel felírni az [math]a[/math][i] [/i]és [math]b[/math] pozitív számok számtani [br]([math]A[/math]), mértani ([math]G[/math]), harmonikus ([math]H[/math]) és négyzetes ([math]N[/math]) közepét?
Az ábrán látható [math]ABCD[/math] trapéz szimmetrikus (tehát húr-) trapéz és érintőnégyszög egyben. Az [math]O[/math] pont a trapézba írható kör középpontját jelöli.[br]Az alapok hosszának felét [math]a[/math]-val illetve [math]b[/math]-vel jelöljük.
1. feladat
Az [math]O[/math] pontban a trapéz magasságára merőlegest állítunk, ez az [math]AD[/math] szárat az [math]I[/math][i] [/i]pontban metszi. Mutasd meg, hogy az [math]OI[/math] szakasz hossza éppen az [math]a[/math] és [math]b[/math][i] [/i]szakaszok hosszának számtani közepével egyenlő!
2. feladat
Mutasd meg, hogy a trapézba írt kör sugara ([math]OG[/math], ahol [math]G[/math] az érintési pont) éppen az [math]a[/math] és [math]b[/math][i] [/i]szakaszok hosszának mértani közepével egyenlő!
3. feladat
A [math]G[/math] pontból a trapéz szimmetriatengelyére bocsátott merőleges talppontja legyen [math]J[/math]. (A [math]J[/math] pont egyben a trapéz átlóinak metszéspontja.)[br]Mutasd meg, hogy ekkor a [math]GJ[/math] szakasz hossza az [math]a[/math] és [math]b[/math] szakaszok hosszának harmonikus közepével egyenlő!
4. feladat
Végül az [math]O[/math] pontból a hosszabb alap irányában a kör átmérőjére felmérve egy [math]\frac{\mid a-b\mid}{2}[/math] hosszúságú szakaszt és az így kapott [math]K[/math] pontot az [math]I[/math] ponttal (az [math]AD[/math] szár felezőpontja) összekötve egy derékszögű háromszöget kapunk. Mutasd meg, hogy ennek az átfogója éppen az [math]a[/math][i] [/i]és [math]b[/math] szakaszok hosszának négyzetes közepével egyenlő!
5. feladat
Haladj végig a [math]JGOIK[/math] törött vonalon. Állapítsd meg, hogy milyen reláció áll fenn a következő középértékek között:[br][i]számtani-mértani, mértani-harmonikus, számtani-négyzetes[/i]!
6. feladat
Milyen összefüggés olvasható le a középértékek egymáshoz viszonyított nagyságáról,[br]adott [math]a[/math] és [math]b[/math] értékek esetén?
7. feladat
Mikor egyenlők ezek a közepek? Mit mondhatunk el ekkor a kiindulási trapézunk[br]speciális tulajdonságairól?