[b][url=https://www.geogebra.org/m/kFPMXTSR]A P-modell eszköztárát használva[/url][/b] vizsgáljuk meg, hogy az alábbi kijelentések[b] [url=https://www.geogebra.org/m/mEsYNnyb]miként tükröződnek[/url][/b] a modellen. Azok az olvasóink, akik számára ismertek az inverzió (körre vonatkozó tükrözés) tulajdonságai, miként tudnák igazolni az alábbi állításokat? [br][color=#9900ff][br][list][*]Két pontra egy és csakis egy egyenes illeszkedik.[/*][br][*]Az egyenes a síkot két részre – [i]félsíkra [/i] – osztja. [/*][br][*]A sík bármely egyenese meghatároz egy[i] tengelyes tükrözés[/i]nek nevezett transzformációt, amely[br][br][list][*]kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoz létre a két félsík pontjai között;[/*][br][*]egy pont tükörképének az ugyanerre az egyenesre vonatkozó tükörképe az eredeti pont;[/*][br][*]az egy egyenesre eső pontoknak a tükörképei is egy egyenesre esnek;[/*][br][*]a sík bármely két pontjához pontosan egy tükörtengely tartozik; [/*][br][*]egy tengelyesen szimmetrikus pontpárnak egy egyesre vonatkozó tükörképei is tengelyesen szimmetrikusak.[/*][/list][/*][/list][/color][br]A geometria axiomatikus felépítésérnek egy lehetséges útja az, amelyben a tengelyes tükrözés imént felsorolt tulajdonságait [u]fogadjuk el axiómaként[/u]. Ha ezt megtesszük kimondhatjuk, az alábbi – abszolút geometriai – definíciókat: [br]     [br][color=#9900ff]Két egyenest [i]merőlege[/i]snek nevezünk, ha egyiknek a másikra vonatkozó tükörképe önmaga. Az egyenesek közötti merőlegesség szimmetrikus reláció.[br] [br]Két szakaszt – általában két síkgeometriai alakzatot – akkor tekintünk [i]egyenlő[/i]nek ([i]egybevágónak[/i]) ha [u]tengelyes tükrözések sorozatával egymásba átvihetők[/u].[/color][br][br]Mint látni fogjuk, a tengelyes tükrözéssel megadható a sík összes többi egybevágósági transzformációja. Sőt a kör(vonal) fogalma is értelmezhető anélkül, hogy a szakasz hosszát (mérését) értelmeznénk. [br]      [br][color=#9900ff]Legyen adott síkban egy [i]O[/i] és egy[i] A[/i] pont. Az [i]O[/i] középpontú [i]A [/i]kerületi pontú [i]körvonal[/i]nak nevezzük azoknak az [i]A'[/i] pontoknak a mértani helyét, amelyekre teljesül, hogy [i]OA [/i]és [i]OA'[/i] egybevágó. [br][/color][br]Ezt a tengelyes tükrözésen alapuló felépítés lehetővé teszi az alábbi fogalmak kialakítását:[br][br][list][*][i]egyenesek közötti [/i][i]merőlegesség;[/i][br][/*][*][i]szakaszfelező merőleges (két pont tükörtengelye);[/i][br][/*][*][i]két félegyenes[/i] [i]szöge;[/i][br][/*][*][i]a szögek közötti egybevágóság (egyenlőség);[/i][br][/*][*][i]a szögfelező (két, közös kezdőpontú félegyenes tükörtengelye).[/i][br][/*][/list][br]A P-modell segítségével egyre pontosabban kirajzolódik az a mérföldkő, amit a párhozamossági axióma kimondása jelent, elválasztva a hiperbolikus geometriával közös – abszolút geometriai – fogalmakat, összefüggéseket a kizárólag csak az euklideszi, vagy csak a hiperbolikus geometriában érvényes fogalmaktól. [br]      [br][color=#ff0000]A hiperbolikus síkon egy adott H-egyeneshez és a rá nem illeszkedő H-ponthoz [u]legalább két[/u] olyan H-egyenese tartozik, amely az adott pontra illeszkedik és az adott H-egyenest nem metszi. [br][/color][br]Ez a legfontosabb összefüggés, amelyben eltér a P-modell az euklideszi geometriából közismert összefüggésektől. Bizonyítható – és ez a P-modellen is tükröződik –, hogy egy adott pontra illeszkedő egyenesek között [color=#ff0000][u]végtelen sok[/u] olyan egyenes van, amely erre a pontra illeszkedik, és az adott egyenest[br]metszi, ill. nem metszi, azaz [i]párhuzamos[/i][i].[/i][/color] Ezt az egyenesekből álló két halmazt két egyenes választja el egymástól, amelyek ugyancsak nem metszők. Ezek az [i]aszimptotikusan párhuzamos[/i], másképpen (rövidebben) [i]egyirányú,[/i] egyenesek, a többi nem metszőt [i]ultrapárhuzamos[/i]nak, vagy [i]eltérőnek[/i] szokás nevezni.[br][br]Eszerint két H-egyenes kölcsönös helyzete lehet [color=#ff0000]metsző, egyirányú és ultrapárhuzamos.[/color]