[right][size=85][size=50][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](August 2019)[/b][/color][/size][/size][/size][/right][size=85]Die Darstellung der [b]WEIERSTAß[/b]schen [math]\wp[/math]-[color=#ff7700][i][b]Funktion[/b][/i][/color] oben ist leider nur ein [i][b]Bild[/b][/i], welches man sich [br]auf [math]\hookrightarrow[/math] [i][b][url=http://3d-xplormath.org/j/index.html][color=#0000ff]http://3d-xplormath.org/j/index.html[/color][/url][/b][/i] mit dem dortigen Programm auch bewegt anschauen kann.[br]Weitere Beispiele [color=#ff7700][i][b]elliptischer Funktionen[/b][/i][/color] findet man auf der sehenswerten Seite [math]\hookrightarrow[/math] [b][url=http://virtualmathmuseum.org][i][color=#0000ff]http://virtualmathmuseum.org[/color][/i][/url][/b] [br]unter den Beispielen für [math]\hookrightarrow[/math] [b][url=http://virtualmathmuseum.org/ConformalMaps/index.html][i][color=#0000ff]konforme Funktionen[/color][/i][/url][/b]. ([size=50]Siehe auch das Bild unten![/size])[br][br]Die [color=#ff7700][i][b]Elliptische Funktionen[/b][/i][/color], die wir hier gerne bewegter darstellen würden, sind [color=#6aa84f][i][b]doppelt-periodische[/b][/i][/color] [br]komplex-differenzierbare Funktionen. Ein Parallelogramm wird ganz auf die Kugel abgebildet, 4 [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] bleiben ausgespart: [br]Nullstellen der Ableitung - für uns sind das die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]. Die [color=#ff7700][i][b]Funktion[/b][/i][/color] wiederholt sich [i][b]periodisch[/b][/i] längs der beiden [br]Parallelen-Richtungen und windet sich um die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]. [br]Die parallelen Strecken werden auf geschlossene Kurven um die [/size][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size][size=85] abgebildet.[br]Die [color=#ff7700][i][b]Funktionen[/b][/i][/color] sind [i][b]konform[/b][/i], also [color=#0000ff][i][b]winkeltreu[/b][/i][/color]![br][color=#0000ff][i][b]Möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] sind diese [color=#ff7700][i][b]Funktionen[/b][/i][/color] vollständig durch die Lage der 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und damit [br]durch deren [b]absolute Invariante[/b] [math]\large\mathcal{J}[/math] bestimmt. [size=50]*) siehe unten[/size][br]Ist [math]\large\mathcal{J}[/math] reell, so liegen die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf einem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] [math]\large\mathcal{J}\ge 0[/math], oder [br]spiegelbildlich auf 2 orthogonalen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] [math]\large\mathcal{J}\le 0[/math]. [br]In all diesen Fällen sind die oben erkennbaren geschlossenen Kurven [color=#ff7700][i][b]konfokale bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color].[br]Im Bild unten sind die geschlossenen Kurven nicht [b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b], es dürfte ein Beispiel einer [color=#ff7700][i][b]elliptischen Funktion [/b][/i][/color][br]mit [b]nicht-reeller absoluten Invariante[/b] darstellen![br][br]Die [b]RIEMANN[/b]sche [color=#0000ff][i][b]Zahlenkugel[/b][/i][/color] und mit ihr die Bilder der Kurven [math]x=const[/math] oder [math]y=const[/math] könnte man sich [br]bewegt von allen Seiten anschauen. Der eine [/size][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color][/size][size=85][math]\infty[/math] der [b]WEIERSTRAß[/b]schen [math]\wp[/math]-Funktion hätte dann keine[br]Sonderstellung mehr, aber der Überblick über das geometrische Verhalten der Funktion wäre sicher größer [br]als jede ebene Darstellung![br][br][color=#38761D][u][i][b]Überhaupt[/b][/i][/u][/color]: wir meinen, [color=#ff7700][i][b]komplex-differenzierbare Funktionen[/b][/i][/color] könnten geometrisch [br]ein lohnendes Thema für [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon]gebra[/b][/i][/color] sein![br][/size][br][size=85]*) das Kapitel [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168947][i][b]Die Lage von 4 Punkten[/b][/i][/url] [br] und [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/sj2h6cmv][color=#980000][u][i][b]4 Punkte ...[/b][/i][/u][/color][/url][br] und [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/ag56v5am][color=#0000ff][u][i][b]Die Lage von 4 Punkten, komplex berechnet[/b][/i][/u][/color][/url][br] und [math]\hookrightarrow[/math] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/sbmneaks]Doppelverhältnis von 4 Punkten[/url][/b][/i][/u][/color][/size]