Im Vorangegangenen haben wir nur den Fall zweier Infinitesimalen [math]\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\in\mathbf\mathcal{G} [/math] mit 4 verschiedenen Polen untersucht - und festgestellt, dass der Berührort, der durch das [i][b]HERMITE[/b][/i]sche Produkt [math]H=\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2[/math] berechnet wird, fast immer eine [i][b]CASSINI[/b][/i]-Quartik ist. Die Ausnahmen bei 4 verschiedenen Polen nennen wir unten.[br]Die Fälle mit weniger Polen sind schnell erklärt:[br][b]I: [/b][u][i]3 verschiedene Pole[/i][i] - 2 nicht-isotrope Infinitesimalen mit einem gemeinsamen Pol:[/i][/u] Wir wählen diesen gemeinsamen Pol als [math]\infty[/math] und können [math]\mathbf\vec{g}_1=\mathbf\vec{g}_0+z_1\cdot\mathbf\vec{p}_\infty,\;\mathbf\vec{g}_2=\mathbf\vec{g}_0+z_1\cdot\mathbf\vec{p}_\infty [/math] setzen: das sind die Verbindungsgeraden von [math]\infty[/math] mit den Punkten [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math]. [br][list][*]Der Berührort [math]\left(e^{ ί φ}\cdot\mathbf\vec{g}(z_1)\right)\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize\mathbf\vec{g}(z_2)[/math] ist der Fasskreis zum Winkel [math]\varphi[/math] über [math]z_1z_2[/math]. [/*][/list][b]II: [/b][u][i]3 verschiedene Pole - eine Berührgerade und eine Schnittgerade durch zwei andere Pole:[/i][/u] Wir wählen [math]\mathbf\vec{p}_\infty[/math] und [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_1[/math], das ist die Verbindungsgerade von [math]+1,-1[/math]. [br][list][*]Im Berührort [math]\mathbf\dot{\vec{g}}_1\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize\left(e^{- ί φ}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty\right)[/math] berühren die Kreise durch [math]+1,-1[/math] die Parallelen mit der Steigung [math]tan\left(-\varphi\right)[/math]. Das sind [i]orthogonale Hyperbeln[/i], möbiusgeometrisch invertierte [i][b]Bernoulli-Lemniskaten[/b][/i]. Siehe dazu das Applet unten.[sup][/sup][/*][/list][b]III:[/b] [u][i]2 verschiedene Pole[/i][/u]: Eine Schnittgerade und ein Pol dieser Schnittgeraden. Wir wählen diesen Pol wieder als [math]\infty[/math]. Der Berührort [math]\left(e^{ ί φ}\cdot\mathbf\vec{g}(z_0)\right)\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize\mathbf\vec{p}_\infty[/math] ist eine Gerade durch [math]z_0[/math], welche die x-Achse unter dem Winkel [math]\varphi[/math] schneidet. [br]Der Fall zweier Infinitesimalen mit 2 gemeinsamen Polen liefert als Berührort diese Polstellen.[br][b]IV:[/b] [u][i]Nur 1 Pol[/i][/u]: der Berührort besteht allein aus dieser Polstelle.

Es bleibt die Frage zu klären, in welchen Fällen die Quartik [math]\mathbf\vec{g}_1\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize\mathbf\vec{g}_2[/math] für zwei Infinitesimalen [math]\mathbf\vec{g}_1,,\mathbf\vec{g}_2[/math] [br][i]k e i n e[/i] [i][b]CASSINI[/b][/i]-Quartik ist, auch wenn 4 verschiedene Pole vorliegen.[br]Dies ist der Fall, wenn nach gemeinsamer komplexer Umnormierung die Infinitesimalen zwei sich schneidende Geraden sind. In Normalform liegen die Pole dann auf der [math]x[/math]-Achse ([math]f,-f,1/f,-1/f[/math] reell) oder auf dem Einheitskreis. Die Quartik besteht dann aus zwei orthogonalen Kreisen.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]