[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebrabooks[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700][i][b]29.09. - [/b][/i][i][b]21.10.2020[/b][/i][/color])[/size][i][size=50][br]ergänzt: [color=#ff7700][b]Juni 2022[/b][/color][/size][/i][/right]

[size=85]Die [color=#BF9000][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color] [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math] wird stereographisch auf die [color=#0000ff][i][b]Einheitskugel [/b][/i][/color]projiziert. [br]Der "Sonderpunkt" [math]\infty[/math] entspricht dabei dem Nordpol.[br]Kreise in [math]\mathbb{C}[/math] werden auf Kreise auf der Kugel projiziert: das sind Schnitte mit Ebenen. Geraden werden Kreise durch [math]\infty[/math].[br]Betrachtet man die Kugel und die Ebenen als Teil eines Projektiven Raumes [math]\mathbb{P}\mathbb{R}^3[/math], dann ist in dem zugehörigen [br]Vektorraum [math]\mathbb{R}^4[/math]eine quadratische Form mit der Signatur (+,+,+,-) ausgezeichnet.[br]Die Gruppe [math]\mathbf{SO(\mathbb{R},3,1)}[/math] der linearen Abbildungen mit Determinante 1, welche die Form invariant lassen, [br]ist fast isomorph zur Gruppe der [color=#0000ff][i][b]gleichsinnigen Möbiustransformationen:[/b][/i][/color] [br]Die Abbildungen lassen die [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Einheitskugel [/b][/i][/color][/size] invariant und sind kreistreu.[br]Beachten muss man nur, dass [math]T\in \mathbf{SO(\mathbb{R},3,1)}[/math] und [math]-T[/math] dieselbe Wirkung besitzen.[br][br][i][b][size=100]Hermitesche Matrizen[/size][/b][/i][br]Die [color=#B45F06][i][b]hermiteschen[/b][/i][/color] 2X2-Matrizen [math]\mathbf{\mathcal{H}_2[/math] bilden einen 4-dimensionalen reellen Vektorraum; [br]eine Matrix [math]\mathbf{H}[/math] ist [math]\hookrightarrow[/math] [u][color=#B45F06][i][b][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesche_Matrix]hermitesch[/url][/b][/i][/color][/u], wenn [math]\mathbf{H}^T=\mathbf{\bar{H}}[/math] gilt.[br]Eine [i][b]Basis[/b][/i] bilden zusammen mit der Identität [math]\sigma_0=\left(\begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1\end{matrix}\right)[/math] [br]die [b]PAULI[/b]-Matrizen [math]\sigma_1=\sigma_x=\left(\begin{matrix}0 & 1 \\1 & 0\end{matrix}\right)[/math], [math]\sigma_2=\sigma_y=\left(\begin{matrix}0 & -i \\i & 0\end{matrix}\right)[/math] und [math]\sigma_3=\sigma_z=\left(\begin{matrix}1 & 0 \\0 & -1\end{matrix}\right)[/math]. [br]Jede Matrix [math]\mathbf{H} \in \mathbf{\mathcal{H}_2[/math] läßt sich reell linear-kombinieren als[br] [math]\mathbf{H} = \alpha_0\cdot\sigma_0+\alpha_1\cdot\sigma_1+\alpha_2\cdot\sigma_2+\alpha_3\cdot\sigma_3=\left(\begin{matrix}\alpha_0 + \alpha_3 & \alpha_1 - i\cdot\alpha_2\\ \alpha_1 + i\cdot\alpha_2 & \alpha_0 - \alpha_3\end{matrix}\right)[/math],[br]Mit Nutzung der Determinante wird auf [math]\mathbf{\mathcal{H}_2[/math] eine quadratische Form [math]\bullet[/math] der Signatur (-,+,+,+) erklärt durch [list][*] [math]\mathbf{H}\bullet\mathbf{H}=-\mathbf{det}\left(\mathbf{H}\right)=-\alpha_0 ^2+\alpha_1^2+\alpha_2 ^2 + \alpha_3 ^3[/math].[/*][/list][br][size=100][i][b]Kreisgleichungen[/b][/i][/size][br]Wir stellen die [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] der [color=#0000ff][i][b]Möbius-Ebene[/b][/i][/color] in [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/fu38rxw6]inhomogenen Koordinaten[/url] [math](z,1)[/math] dar.[br]Jede von der Nullmatrix verschiedene [color=#B45F06][i][b]hermitesche[/b][/i][/color] Matrix [math]\mathbf{H}=\left(\begin{matrix}\alpha_0 + \alpha_3 & \alpha_1 - i\cdot\alpha_2\\ \alpha_1 + i\cdot\alpha_2 & \alpha_0 - \alpha_3\end{matrix}\right) \in \mathbf{\mathcal{H}}_2[/math] (s.o.) [br]bestimmt bis auf reelle Vielfache genau eine [color=#ff0000][i][b]Kreisgleichung[/b][/i][/color][br][/size][list][*][size=85] [math]\left(\bar z,1\right)\cdot \mathbf{H}\cdot\binom{z}{1}=\left(\alpha_0+\alpha_3\right)\cdot z\bar z+\left(\alpha_1-i\cdot\alpha_2\right)\cdot \bar z+\left(\alpha_1+i\cdot\alpha_2\right)\cdot z+\alpha_0-\alpha_3=0[/math][/size][/*][/list][size=85]Für [math]\alpha_0+\alpha_3=0[/math] liegt die Geradengleichung [math]2\cdot\alpha_1\cdot x-2\cdot\alpha_2\cdot y+\alpha_0-\alpha_3=0[/math] vor.[br]Für [math]\alpha_0+\alpha_3\ne0[/math] setze man [math]m=-\frac{\alpha_1-i\cdot\alpha_2}{\alpha_0+\alpha_3}[/math] und [math]\rho^2=m\bar m-\frac{\alpha_0-\alpha_3}{\alpha_0+\alpha_3}[/math]:[br] für [math]\rho^2>0[/math] liegt ein reeller [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] mit Mittelpunkt [math]m[/math] und Radius [math]\rho[/math] vor,[br] für [math]\rho^2=0[/math] ergibt sich ein [color=#ff0000][i][b]Punktkreis[/b][/i][/color] für den Punkt [math]m[/math],[br] für [math]\rho^2<0[/math] ist der [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] imaginär.[br][br][i][b]Stereographisch projiziert:[/b][/i][br] [br]Ein Punkt [math]z=x+i\cdot y\in\mathbb{C}[/math] wird stereographisch auf die [color=#9900ff][i][b]Einheitskugel[/b][/i][/color] projiziert:[br]Die Koordinaten des [color=#ff0000][i][b]Bildpunktes[/b][/i][/color] auf der [color=#9900ff][i][b]Kugel[/b][/i] [/color]lauten: [math]z=x+i\cdot y\mapsto\left(\frac{2\cdot x}{z\bar z+1},\frac{2\cdot y}{z\bar z+1},\frac{z\bar z-1}{z\bar z+1}\right)[/math].[br]Hiermit läßt sich die [color=#9900ff][i][b]Kugeloberfläche[/b][/i][/color] parametrisieren. Diese Projektion läßt sich auch als [math]\hookrightarrow[/math][b][u] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/ycx9tuh4][color=#B45F06][i]Inversion[/i][/color] an einer [color=#3c78d8][i]Kugel[/i][/color][/url][/u][/b] deuten![/size]

[size=85]Die [i][b]stereographische Projektion[/b][/i] läßt sich als Abbildung fortsetzen auf die durch [color=#BF9000][i][b]hermiteschen Matrizen[/b][/i][/color] bestimmten [color=#ff0000][i][b]Kreisgleichungen[/b][/i][/color]. [br]Das Bild eines [color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color] unter der stereographischen Projektion ist ein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] auf der [color=#9900ff][i][b]Kugel[/b][/i][/color], der als Schnitt der [color=#9900ff][i][b]Kugel[/b][/i][/color] [br]mit einer [i][b]Ebene[/b][/i] entsteht.[br]Die Fortsetzung der stereographischen Projektion bildet den Kreis in [math]\mathbb{C}[/math] auf den [color=#980000][i][b]Pol[/b][/i][/color] der Schnitt-Ebene mit der [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]Kugel[/b][/i][/color][/size] ab. [br]Das Bild eines [color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color] mit [color=#00ffff][i][b]Mittelpunkt[/b][/i][/color] [math]m=m_x+i\cdot m_y\in\mathbb{C}[/math] und [color=#ff7700][i][b]Radius[/b][/i][/color] [math]r[/math] :[br][/size][list][*][size=85][math]\mathbf{K}\left(m,r\right)\mapsto\left(\frac{2\cdot m_x}{m\bar m-r^2+1},\frac{2\cdot m_y}{m\bar m-r^2+1},\frac{m\bar m-r^2-1}{m\bar m-r^2+1}\right)[/math] [/size][/*][/list][size=85]Dies ist gerade der [color=#980000][i][b]Pol[/b][/i][/color] des[color=#ff0000][i][b] Kreises[/b][/i][/color] auf der [color=#9900ff][i][b]Kugel[/b][/i][/color]. Er liegt auf der [color=#00ff00][i][b]Projektionsgeraden[/b][/i][/color] durch [math]N=\infty[/math] und [math]m[/math] in [math]\mathbb{C}[/math].[br]Die Verbindungsgeraden des [color=#980000][i][b]Pols[/b][/i][/color] mit Punkten des [color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color] auf der [/size][size=85][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]Kugel [/b][/i][/color][/size][/size]sind tangential an die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]Kugel[/b][/i][/color][/size][/size].[br]Rechnet man obige Zuordnung zurück auf die Koeefizienten der [color=#ff0000][i][b]Kreisgleichung[/b][/i][/color] (s.o.)[br][list][*][size=85] [math]\left(\bar z,1\right)\cdot \mathbf{H}\cdot\binom{z}{1}=\left(\alpha_0+\alpha_3\right)\cdot z\bar z+\left(\alpha_1-i\cdot\alpha_2\right)\cdot \bar z+\left(\alpha_1+i\cdot\alpha_2\right)\cdot z+\alpha_0-\alpha_3=0[/math][/size][/*][/list]so läßt sich die [i][b]stereographische Projektion [/b][/i]deuten als Abbildung [math]\mathbf{H}\mapsto\left(\frac{-\alpha_1}{\alpha_0},\frac{\alpha_2}{\alpha_0},\frac{-\alpha_3}{\alpha_0}\right)[/math];[br]hierdurch sind auch [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] und nicht-reelle [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] in [math]\mathbb{C}[/math] erfaßt.[br][u][i]Geometrische Bedeutung[/i][/u]: Durch die stereographische Projektion wird jeder Kreisgleichung in [math]\mathbb{C}[/math] im Kugelmodell [br]der [/size][size=85][size=85][color=#980000][i][b]Pol[/b][/i][/color] [/size] der zugehörigen Kreisebene zugeordnet.[br][br][u][i][b]Begründung dafür, dass es sich um den Pol der Kreisebene handelt[/b][/i][/u]: (s. das Applet unten)[br]Es genügt, die Ebene durch [b]N[/b] ([math]=\infty[/math]),[i] Ursprung[/i] und [math]m[/math] zu betrachten. [br]Die Rechnungen werden einfacher, wenn man in dieser Ebene komplex rechnet.[br]Auf der [math]x[/math]-Achse erscheint der [color=#ff7700][i][b]Kreis[/b][/i][/color] als Strecke [math]x_1:=m-r[/math] bis [math]x_2:=m+r[/math] mit Mittelpunkt [math]m[/math]. [br]Stereographisch projiziert:[br] [math]z_1=\frac{1}{\left(m-r\right)^2+1}\cdot\left(2\cdot\left(mr\right)+i\cdot\left(\left(m-r\right)^2-1\right)\right)=\frac{1+i\cdot\left(m-r\right)}{\left(m-r\right)+i}[/math] [br] und entsprechend [math]z_2=\frac{1+i\cdot\left(m+r\right)}{\left(m+r\right)+i}[/math]. Mittelpunkt dieser Strecke: [math]m_{\left\{12\right\}}=\frac{1}{2}\left(z_1+z_2\right)=\frac{i\cdot\left(m^2-r^2+1\right)}{\left(m^2-r^2-1\right)+2\cdot i\cdot m}[/math],[br] am Einheitskreis gespiegelt: [math]\frac{1}{\bar m_{\left\{12\right\}}}=\frac{1}{m^2-r^2+1}\cdot\left(2\cdot m+i\cdot\left(m^2-r^2-1\right)\right)[/math].[br] Das ist der [/size][size=85][color=#cc4125][i][b][size=85][color=#980000][i][b]Pol[/b][/i][/color] [/size][/b][/i][/color] der Geraden [math]z_1z_2[/math] bezüglich des Einheitskreises.[br]Die komplexen Rechnungen können mit [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color]-[b]CAS[/b] kontrolliert werden.[/size]

[color=#ff7700][i][b][size=50][right]Juli 2022[/right][/size][/b][/i][/color][size=85][table][tr][td][color=#cc0000][b] Punkte[/b][/color] in [math]\mathbb{C}[/math][/td][td][color=#38761D][i][b]stereographische[br] Projektion[/b][/i][/color][br][/td][td][color=#cc0000][b] Punkte[/b][/color] auf der [color=#980000][i][b]Kugel [br] [math]\mathbf{x_1^2+x_2^2+x_3^2-1=0}[/math][/b][/i][/color][/td][/tr][tr][td] [math]\mathbf{z=x+i\cdot y\in \mathbb{C}}[/math][/td][td] [math]\rightarrow\rightarrow\rightarrow[/math][/td][td][math]\mathbf{\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(\frac{2\cdot x}{z\bar z+1},\frac{2\cdot y}{z\bar z+1},\frac{z\bar z-1}{z\bar z+1}\right)}[/math][/td][/tr][tr][td][math]\mathbf{x=\frac{x_1}{1-x_3},y=\frac{x_2}{1-x_3}}[/math][/td][td] [math]\leftarrow\leftarrow\leftarrow[/math][/td][td] [math]\mathbf{\left(x_1,x_2,x_3\right)\in \mathbb{R}^3} [/math] [/td][/tr][tr][td][color=#cc0000][b] Kreise[/b][/color] in [math]\mathbf{\mathbb{C}}[/math][/td][td][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]stereographische[br] Projektion[/b][/i][/color][/size][/size][/td][td][size=85][color=#cc0000][b] Kreise[/b][/color] auf der [color=#980000][i][b]Kugel[/b][/i][/color][/size][/td][/tr][tr][td][math]\mathbf{C\left(m,\rho\right),m=m_x+i\cdot m_y}[/math][br] [math]\mathbf{\left|z-m\right|^2-\rho^2=0}[/math] [br][math]\mathbf{ z\bar z -\bar m\cdot z-m\cdot\bar z+m\bar m-\rho^2=0}[/math][/td][td] [math]\rightarrow\rightarrow\rightarrow[/math][/td][td][math]\mathbf{\left(c_1,c_2,c_3\right)=\left(\frac{2\cdot m_x}{m\bar m-\rho^2+1},\frac{2\cdot m_y}{m\bar m-\rho^2+1},\frac{m\bar m-\rho^2-1}{m\bar m-\rho^2+1}\right)}[/math][/td][/tr][br][tr][td][math]\mathbf{m_x=\frac{c_1}{1-c_3},m_y=\frac{c_2}{1-c_3}}[/math] [br] [math]\mathbf{m=m_x+i\cdot m_y}[/math][br] [math]\mathbf{\rho^2=\frac{2\cdot c_3}{1-c_3}+m\bar m-1}[/math] [/td][td] [math]\leftarrow\leftarrow\leftarrow[/math][/td][td][math]\mathbf{\left(c_1,c_2,c_3\right)\in\mathbb{R}^3}[/math][br][/td][/tr][br][tr][td] [color=#cc0000][i][b]Hermitesche Matrizen[/b][/i][/color][br][/td][td][br][/td][td][color=#cc0000][b]Punkte[/b][/color], [color=#cc0000][b]Kreise [/b][/color]in [math]\mathbb{C}[/math][br][/td][/tr][br][tr][td][math]\mathbf{H = \left(\begin{matrix}\alpha_0 + \alpha_3 & \alpha_1 - i\cdot\alpha_2\\ \alpha_1 + i\cdot\alpha_2 & \alpha_0 - \alpha_3\end{matrix}\right)}[/math], mit[br][br] [math]\mathbf{H\bullet\mathbf{H}=-\mathbf{det}\left(\mathbf{H}\right)\\ \mbox{ }=-\alpha_0 ^2+\alpha_1^2+\alpha_2 ^2 + \alpha_3 ^3}[/math][br][/td][td][br][/td][td][math]\mathbf{\left(\bar z,1\right)\cdot \mathbf{H}\cdot\binom{z}{1}=\left(\alpha_0+\alpha_3\right)\cdot z\bar z\; + \\ \mbox{ }+\left(\alpha_1-i\cdot\alpha_2\right)\cdot \bar z+\left(\alpha_1+i\cdot\alpha_2\right)\cdot z\;+ \\ \mbox{ }+\alpha_0-\alpha_3=0}[/math][br]mit [math]\mathbf{m=-\frac{\alpha_1-i\cdot\alpha_2}{\alpha_0+\alpha_3}}[/math] und [math]\mathbf{\rho^2=m\bar m-\frac{\alpha_0-\alpha_3}{\alpha_0+\alpha_3}}[/math][br][/td][/tr][br][tr][td] [math]\mathbf{H = \left(\begin{matrix}\alpha_0 + \alpha_3 & \alpha_1 - i\cdot\alpha_2\\ \alpha_1 + i\cdot\alpha_2 & \alpha_0 - \alpha_3\end{matrix}\right)}[/math][br][/td][td][size=85][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]"stereographische[br] Projektion"[br] [math]\leftrightarrow\leftrightarrow\leftrightarrow[/math][/b][/i][/color][/size][/size][/size][br][/td][td] [math]\mathbf{\left(c_1,c_2,c_3\right)=\left(\frac{-\alpha_1}{\alpha_0},\frac{\alpha_2}{\alpha_0},\frac{-\alpha_3}{\alpha_0}\right)\in \mathbb{R}^3}[/math] (s. o.)[br][/td][/tr][/table][/size]