[list][*][math]f(x)=3\, x^4-27\, x^2+486[/math] [/*][*][math]g(x)=4\,x^{12}+72\,x^6 +128[/math][/*][*][math]h(x)=-4\,x^6 - 72\, x^3-224[/math] [/*][*][math]k(x)=2\,x^{14}-58\,x^7 + 380[/math][/*][/list]
Der größere Exponent an der Variablen [math]x[/math] ist genau doppelt so groß, wie der kleinere Exponent
Wenn man in den oben stehenden Gleichungen die Potenz mit dem kleineren Exponenten durch einen Buchstaben ersetzt, dann lässt sich jede der oben stehenden Gleichungen in eine quadratische Gleichung überführen.[br]Beispiel: [math]f(x)=3\,x^4-27\,x^2+486[/math] [br]Hier kann das [math]x^2[/math] durch die Variable [math]u[/math] ersetzt werden: [br][math]\text{\Large{$\fgcolor{#980000}{\boxed{u=x^2}}$}}[/math][br]Das nennt man [b][color=#980000]Substitution[/color][/b].[br]Dann gilt auch, dass [br][math]\text{\Large{$x^4=x^2\cdot x^2=u\cdot u=u^2$}}[/math] [br]Damit lässt sich die Funktion [math]f[/math] nun in Abhängigkeit von [math]u[/math] schreiben:[br][math]f(u)=3\,u^2-27\,u+486[/math][br]Von dieser Funktion können wir die Nullstellen händisch berechnen, also die Zahlen für unsere neue Variable [math]u[/math], für die die Funktionsgleichung gleich Null ist:[br]Nach Anwendung zum Beispiel der pq-Formel ergibt sich [math]u_1=18[/math] und [math]u_2=-9[/math] (rechnen Sie es nach!).[br][br][b][u]Rücksubstitution:[/u][/b][br]Nun müssen wir uns erinnern, wie die Variable [math]u[/math] mit unserem [math]x[/math] zusammenhängt:[br][math]u_1=18=\fgcolor{#980000}{x^2}[/math] Um die Nullstellen für die Variable [math]x[/math] zu erhalten, muss u - durch Wurzel ziehen - wieder in x umgerechnet werden. Aus der Lösung [math]u_1=18[/math] folgen daher [b][i]zwei[/i][/b] Nullstellen: [br][math]\Rightarrow x_{N1}=\sqrt{18}[/math] und [math]x_{N2}=-\sqrt{18}[/math][br]Aus der Lösung [math]u_2=-9[/math] folgt [i][b]keine[/b][/i] weitere Nullstelle, weil es keine Quadratwurzel aus negativen Zahlen gibt.[br][br]Die gesuchten Nullstellen der Funktion [math]f(x)[/math] sind also: [math]x_{N1}=\sqrt{18}[/math] und [math]x_{N2}=-\sqrt{18}[/math][br][br][color=#980000][b]Aber Achtung[/b]: [/color][br]Dass es keine Lösung für negative Zahlen gibt, gilt nur für gradzahlige Wurzeln, [math]\sqrt[2]{\hspace{2mm}}[/math],[math]\sqrt[4]{\hspace{2mm}}[/math], u.s.w.[br]Bei [b]ungradzahligen Wurzeln[/b] gibt es immer [b][color=#980000]genau eine[/color][/b] [b]Lösung[/b]. [br]Und [b]ungradzahlige Wurzeln können auch von [color=#980000]negativen[/color] Zahlen gebildet werden[/b]: [math]\sqrt[3]{-8}=-2[/math] , denn [math](-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8[/math]
Machen Sie aus der Funktion [math]g(x)=4\,x^{12}+72\,x^6 +128[/math] mit Hilfe einer Substitutionsvariablen eine quadratische Funktion:
Substitution [math]u=x^6[/math][br][math]\Rightarrow \underline{g(u)=4\,u^2 + 72\,u+128}[/math][br]
Machen Sie aus der Funktion [math]h(x)=-4\,x^6 - 72\, x^3-224[/math] mit Hilfe einer Substitutionsvariablen eine quadratische Funktion:
Substitution [math]u=x^3[/math][br][math]\Rightarrow \underline{h(u)=-4\,u^2 - 72\,u-224}[/math]
Machen Sie aus der Funktion [math]k(x)=2\,x^{14}-58\,x^7 + 380[/math] mit Hilfe einer Substitutionsvariablen eine quadratische Funktion:
Substitution [math]u=x^7[/math][br][math]\Rightarrow \underline{k(u)=2\,u^2 - 58\,u+380}[/math]
Die folgende App bietet wieder Funktionen aus Zufallszahlen. Mit "Lösung zeigen" kann man sich den vollständigen Lösungsweg anzeigen lassen, um ihn mit dem eigenen zu vergleichen.[br]Aber denken Sie daran: Nur wer selber rechnet, lernt wie es geht!