[b][size=150]＜指数法則と指数関数＞[/size][/b][br][color=#0000ff][b]１以外の正の数aを定数とする[/b][/color]。aを[color=#0000ff]底(base)[/color]という[b]。[/b][br]ｘを数のaの右肩にかいて、aをｘ個かけ算することを指す数（[color=#0000ff]指数、index[/color])として使う。[br]ｘから[color=#0000ff]a[sup]x[/sup]（aのｘ乗）[/color]を対応させる関数を[color=#0000ff]指数関数(Exponetial、Power)[/color]という。[br]y=pow(a,x)=a[sup]x[/sup][br]ｘの定義域を正の整数とするとき、以下の指数法則が成り立つ。[br]１[b]．a[sup]m[/sup]×a[sup]n[/sup]=a[/b][sup][b](m+n)[/b] 　[/sup]関数形式ではpow(a,m)×pow(a,n)=pow(a,m+n)[br]２[b]．a[sup]m[/sup]／a[sup]n[/sup]=a[/b][sup][b](m-n)[/b] 　[/sup]関数形式ではpow(a,m)／pow(a,n)=pow(a,m-n)[br]３[b]．(a[sup]m[/sup])[sup]n[/sup]=a[/b][sup][b]m･n[/b]　[/sup]関数形式ではpow(pow(a,m),n)=pow(a,m･n)[br][color=#0000ff]（例）[/color]a[sup]3[/sup]a[sup]2[/sup]=a[sup]5 [/sup],a[sup]3[/sup]/a[sup]2[/sup]=a[sup]1[/sup], (a[sup]3[/sup])[sup]2[/sup]=a[sup]3[/sup]a[sup]3[/sup]=a[sup]6[/sup][br][br][b][size=150]＜指数を負の整数へ＞[br][/size][/b]指数法則２番目で、[br]m=nのときを考えてみよう。[br]a[sup]m[/sup]/a[sup]m[/sup]=1となるが、a[sup]m[/sup]/a[sup]m[/sup]=a[sup](m-m)[/sup]=a[sup]0[/sup]だから、[color=#0000ff][b]a[sup]0[/sup]=1[/b][/color]という法則ができる。[br]関数形式では、pow(a,0)=1となる。[color=#0000ff][b]グラフy=a[sup]x[/sup]は[u]（０，１）を通る。[/u][/b][/color][br]さらにm=n-1のときを考える。[br]a[sup]m[/sup]/a[sup]n[/sup]=a[sup](m-n)[/sup]=a[sup](-1)[/sup]。分数にしてa[sup]m[/sup]で約分すると、a[sup]m[/sup]/a[sup]n[/sup]=1/aとなる。[color=#0000ff][b]a[sup]-1[/sup]=1/a[/b][/color]という法則ができる。[br]さらに、m=n-kにすれば、[color=#0000ff][b]a[sup]-k[/sup]=1/a[sup]k[/sup][/b][/color]という法則もできる。[math]a^{-n}=\frac{1}{a^n}[/math][br][color=#0000ff][b]指数を負に拡張しても指数法則が成り立つ(証明略）[br]指数mが負の数でも、a[sup]m[/sup]は正のままなので、グラフｙ＝a[sup]x[/sup]の[u]値域は正[/u]。[br][/b][/color]（[color=#0000ff]例）[/color]10[sup]0[/sup]=1, 3[sup]-2[/sup]=1/3[sup]2[/sup],x-[sup]1[/sup]=1/x, x[sup]2[/sup]y[sup]-2[/sup]=(x/y)[sup]2[br][/sup]　a[sup]-2[/sup]×a[sup]-3[/sup]=a[sup]-5[/sup][size=150][b]、[/b][size=100]a[sup]-2[/sup]/a[sup]-4[/sup]=[/size]a[size=100][sup](-2+4)[/sup][/size]=a[size=100][sup]2[br][/sup][/size][b][br]＜指数を有理数へ＞[br][/b][size=100]指数法則の３番目で、mが分数になる場合を考える。つまり、[br](a[sup]m[/sup])[sup]n[/sup]=a[sup]1[/sup]なら、mn=1となり、ｍ=1/nで、ｎは逆数という法則がきる。[br]たとえば、x[sup]2[/sup]=(a[sup]m[/sup])[sup]2[/sup][/size][size=100]=aとすると、ｘは[color=#0000ff]aの平方根[/color]だから、[color=#0000ff][b]a[sup]1/2[/sup]=√a[/b][/color]となる。[br]さらに、x[sup]n[/sup]=(a[sup]m[/sup])[sup]n[/sup]=aとすると、xは[color=#0000ff]aのｎ乗根[/color]だから、[color=#0000ff][b]a[sup]1/n[/sup]=[sup]n[/sup]√a[/b][/color]となる。[br][math]a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}=\left(\sqrt[m]{a}\right)^n[/math][br][color=#0000ff][b][u]指数を有理数に拡張しても指数法則が成り立つ(証明略）[br][/u][/b][/color][/size][/size][color=#0000ff]（例）[/color]a[sup]1/2 [/sup]a[sup]1/3[/sup]=a[sup]5/6[/sup][br][color=#0000ff]（例）[/color]a[sup]1/2[/sup] /a[sup]1/3[/sup]=a[sup]1/6[/sup][br][color=#0000ff]（例）[math]a^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}}\div a^{\frac{1}{6}}=a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}=a^{\frac{4}{6}}=a^{\frac{2}{3}}[/math][br]（例）[/color](a[sup]1/2[/sup]) [sup]3/2[/sup]=a[sup]3[/sup]

[b][size=150]＜指数と累乗根＞[/size][/b][br]　ｙ＝a[sup]x[br][/sup]は単調変化関数なので、aが１より大きければ、ｘの大小順とｙの大小順は同じ。[br]aが１より小さいと逆転する。[br][color=#0000ff]（例）[/color][math]\sqrt{5},\sqrt[3]{7},\sqrt[6]{9}[/math] の大小は？[br]　[math]\left(\sqrt{5}\right)^6,\left(\sqrt[3]{7}\right)^6,\left(\sqrt[6]{9}\right)^6=5^{\frac{6}{2}},7^{\frac{6}{3}},9^{\frac{6}{6}}=125,49,9[/math] だから、大きい順にならんでいるから、もとも大きい順。[br][color=#0000ff]（例）[/color][math]\sqrt[3]{\frac{16}{81}},\sqrt[4]{\frac{8}{27}},\sqrt[5]{\frac{4}{9}}[/math] の大小は？[br]　[math]\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{2}},\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{4}},\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{5}}[/math] で、底が同じで指数が大きい順にならんでいるから、大きい順。[br][br][b][size=150]＜指数関数と大小問題＞[br][/size][/b]２[sup]x [/sup]などをｔなどにおきかえた方程式、不等式にすると、t>０という範囲で解くことになる。[br][color=#0000ff]（例）[/color]2[sup]x[/sup]+2[sup]2-x[/sup]=5 の解は？[br]　2[sup]2-x[/sup]=2[sup]2[/sup]/2[sup]x[/sup]だから、2[sup]x[/sup]=tとおくと、t+4/t-5=0。t[sup]2[/sup]-5t+4=(t-4)(t-1)=0.[br] 2[sup]x[/sup]=t=1,4となるから、解はx=0,2。[br][color=#0000ff]（例）[/color]9[sup]x[/sup]-10･3[sup]x[/sup]+9>0を満たすｘの範囲は？[br]　3[sup]x[/sup]=t>0とおくと、t[sup]2[/sup]-10t+9=(t-9)(t-1)>0でt<1,9x<3[sup]0[/sup],3[sup]2[/sup]<3[sup]x[/sup]。解はx<0,2（例）y=4[sup]x[/sup]-2[sup]x+2[/sup]+1の最小値は？[br]　　2[sup]x[/sup]=t>0とおくと、y=t[sup]2[/sup]-4t+1=(t-2)[sup]2[/sup]-3>=-3から最小値は−３。（軸t=2[sup]x[/sup]=2、つまりx=1のとき）[br]（例）全実数ｘに対して2[sup]2x+2[/sup]+2[sup]x[/sup]a+1-a>0となる実数aの範囲は？

[b][size=150]＜解と解の対応＞[/size][/b][br]・方程式f(x)=aでg(x)=2[sup]x[/sup]=tなどをｔとおきf(x)=h(t)=yとする。[br]もし2[sup]x[/sup],2[sup]y[/sup]など2種の未知数があるときは、2[sup]x[/sup]=X,2[sup]y[/sup]=Yのようにおこう。[br]すると、ｔ，X,Yなどが指数関数の値域だから、正になる。これが定義域として正となることが[br]変化の範囲を調べる手がかりになるね。[br]・y=h(t)とy=aの交点の個数の変化を調べる場合、[br][color=#0000ff][u]t軸からｙの変化を調べるのではなく、逆関数のようにｙ軸の値を基準にして[/u]調べよう。[br][/color]交点があれば、解のｔ座標をg(x)=tに入れて、さらにｘの個数を調べる必要がある。[br][br][color=#0000ff]（例）「[/color][math]f\left(x\right)=2^{2x+2}+2^xa+1-a>0[/math](xはすべての実数）が成り立つaの範囲」は？[br]g(x)=2[sup]x[/sup]=tとおくと、f(x)=4t[sup]2[/sup]+at+1-a=4(t+a/8)[sup]2[/sup]t-1/16a[sup]2[/sup]-a+1=h(t)とおく。[br]・gの値域t,つまりh(t)の定義域は正。[br]hの軸t=-a/8は、a＞=0なら負にあるから,fの最小値のｙ切片h(0)=1-a>=0。[br]だから、aが非負ならa<1。（範囲１）[br]・a<0なら、軸が正にあるので、頂点のｙ座標h(-a/8)=-1/16a[sup]2[/sup]-a+1>0であればよい。[br]辺々-16倍して、a[sup]2[/sup]+16a-16<0。a<0の範囲で=0の解はa=-8-√(64+16)=-8-4√5[br]だから、aが負なら-8-4√5で（範囲２）[br]・範囲１と２を合併した範囲。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「[math]y=4^x+4^{-x}-2a\left(2^x+2^{-x}\right)+1[/math]の最小値が-10となるaの値」は？[br]t=2[sup]x[/sup]+2[sup]-x[/sup]とおくと、相加平均が相乗平均以上だから、変域はtが２以上。[br]f(t)=t[sup]2[/sup]-2-2at+1=t[sup]2[/sup]-2at-1=(t-a)[sup]2[/sup]-1-a[sup]2[/sup][br]軸t=aが2以上なら、最小値は-1-a[sup]2[/sup]=-10から、a[sup]2[/sup]=9。a=3。[br]軸t=aが2未満なら、最小値はf(2)=4-2a-1=3-2a=-10。これから、a=13/2これは2未満でないからダメ。[br]あわせて、a=3のみ。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「aは2以下のとき[math]f\left(x\right)=4^x+4^{-x}-3a\left(2^x+2^{-x}\right)+2\left(a^2+1\right)=0[/math]の実数解の個数とaの範囲」は？[br]t=2[sup]x[/sup]+2[sup]-x[/sup]とおくと、相加平均が相乗平均以上だから、tは２以上。[br]さらに2[sup]x[/sup]=X>0とすると、t=X+1/X=g(X)となり、[br]グラフはt=Xが漸近線でX=1のとき最小値ｔ=2となる。[br]f(x)=t[sup]2[/sup]-2-3at+2a[sup]2[/sup]+2=t[sup]2[/sup]-3at+2a[sup]2[/sup]=(t-a)(t-2a)=h(t)=0の解t=a,2a。[br][color=#0000ff][u]t=a,t=2aをｔ軸に垂直な２直線を停止し、t=2の方を動かす[/u][/color]ことで、[br]t=2というt=g(X)の最小の頂点を示す位置をスライドして調べることができる。[br]aが２以下という条件はy=2はy=a以上にあること。[br]・a=2のとき、ｇと２直線は３点で交わるから解は３個。[br]・a=1のとき、2a=2だから、頂点が２直線の上の方に接するから１個。[br]・aが１と２の間なら、ｇは２直線の上の方と２点で交わるから２個。[br]・aが１未満なら、2a<2だから、頂点が２直線の上にあり、交点は０個。

[b][size=150]＜指数関数の底の効果＞[/size][/b][br]指数関数y=f(x)=a[sup]x[/sup]の特徴の重要な特徴は５つある。[br]１．(これはルール）底のaは１以外の正の実数なら何でもよいが、[br]　[u]実用的には[/u][u]２，１０，e（オイラー数）[/u]などをよく使う。[br]２．全実数から正の数への関数だ。[br]３．関数のグラフは（０，１）を通る。[br]４．単調変化。（aが１より大きいと単調増加。aが１より小さいと単調減少。）[br]５．指数法則が成り立つ。[br][br][b][size=150]＜オイラー数＞[/size][/b][br]袋の中に１からｎまでの番号が１つずつかかれたカードがある。[br]カードを１枚とってもどす試行をｋ回やって数字和がｎになる確率Pkを求めて総和Snを求めよう。[br]ｐk＝（ｎ−１個の区切りからｋ−１個選ぶ組み合わせ）÷ｎ[sup]k[/sup][br]=[math]\frac{_{n-1}C_{k-1}}{n^k}=_{n-1}C_{k-1}\left(\frac{1}{n}\right)^k[/math] 。２項定理から[br]P1からPnまでの総和Sn=[math]\sum pk=\frac{1}{n}\sum\left(_{n-1}C_{k-1}\right)\cdot1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{k-1}=\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1}[/math] [br]lim n・Sn＝[math]lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1}=lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e[/math] （Euler数、ネイピア数ともいう)[br]（例）[br]n=5, pow((1+1/5),5) =2.48..[br]n=50, pow((1+1/50),50) =2.69..[br]n=500, pow((1+1/500),500) =2.71556..[br]n=5000, pow((1+1/5000),5000) =2.71801..[br]n=10000, pow((1+1/10000),10000) =2.71814..[br]n=50000, pow((1+1/50000),50000) =2.71825...[br]n=1000000, =2.7182804...[br]n=10000000, =2.7182816...[br][b][size=150]＜オイラーのアイディア＞[/size][br][/b]オイラーは無限小・無限大という考えと2項展開を使って、[br]指数関数a[sup]x[/sup]を級数展開した。[br]無限小ωという量と無限大のj=x/ωを使うと、ω=x/j。a[sup]ω[/sup]＝１＋kωとなるｋがaの値にごとに決まる。[br]a[sup]x[/sup]=(aω)[sup]x[/sup]=(1+kω)[sup]j[/sup]=(1+kx/j)[sup]j[/sup]=1+j(kx/j)+j(j-1)/2!(kx/j)[sup]2[/sup]+j(j-1)(j-2)/3!(kx/j)[sup]3[/sup]+..........[br]jが無限大なら、(j-1)/j=(j-2)/j=...=1となり、jを使った係数は消える。[br]a[sup]x[/sup]=1+kx+(kx)[sup]2[/sup]/2!+(kx)[sup]3[/sup]/3!+........[br]・k=1とおくと、[math]a^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+.......[/math].[br]・x=1とおくと、[sup][/sup][math]a=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+.......[/math]=2.7182818284590......[br]このように、オイラーは指数関数を無限項の多項式で再表現することを試みた。[br]それによって、特別な場合として、オイラー数がeという文字を使って命名した。[br]