Ein [b]euklidisches Koordinatensystem[/b] ist eine [i]orientierte[/i] Basis [math]\mathbf\vec{p}_\infty,\,\mathbf\vec{g}_0,\,\mathbf\vec{p}_0[/math] im komplexen [br]Geradenvektorraum [math]\large\mathcal{G}[/math] mit [math]\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{p}_\infty,\mathbf\vec{g}_0,\mathbf\vec{p}_0\right)=1[/math], für welche die beiden Produkttabellen gelten: [br][list][center][br][math]\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline [br]\bullet & \mathbf\vec{p}_\infty &\mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline [br]\mathbf\vec{p}_\infty & 0 & 0 & 1 \\ \hline [br]\mathbf\vec{g}_0 & 0 & -1 & 0 \\ \hline [br]\mathbf\vec{p}_0 & 1& 0 & 0 \\ \hline\end{tabular}[/math] [math]\Large\begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline [br][\;\,,\;] & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline [br]\mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 \\ \hline [br]\mathbf\vec{g}_0 & -\mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o}& \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline [br]\mathbf\vec{p}_0 & - \mathbf\vec{g}_0 & - \mathbf\vec{p}_0& \mathfrak{o} \\ \hline\end{tabular}[/math][/center][/list][list][*]Die Punkte auf der Möbiusquadrik mit Ausnahme von [math]\infty\equiv \mathbf\vec{p}_\infty[/math] erreicht man durch die komplexe Parametrisierung der Berührgeraden: [math]\mathbf\vec{p}(z):=\frac{z^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p}_\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0,\mbox{ mit }z\in\mathbb{C}[/math]. Es gilt: [math]\mathbf\vec{p}(z)\bullet \mathbf\vec{p}(z)=0[/math][/*][/list][list][*]Die Verbindungsgerade zweier Punkte [math]z_1,z_2\in\mathbb{C}[/math]: [math]\mbox{ }\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)=\frac{\left[\mathbf\vec{p}(z_1),\mathbf\vec{p}(z_2)\right]}{\mathbf\vec{p}(z_1)\bullet\mathbf\vec{p}(z_2)} =\frac{1}{z_1-z_2}\left(z_1z_2\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+\left(z_1+z_2\right)\cdot\mathbf\vec{g}_0+2\cdot\mathbf\vec{p}_0\right)[/math], es ist [math]\left(\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)\right)^2=-1[/math].[/*][/list][list][*][math]\mathbf\vec{g}\in\large\mathcal{G}[/math] ist eine Gerade, wenn [math]\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}\in \mathbb{R}[/math] gilt: [math]\left\{\begin{matrix}{\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}<0} & {\mbox{ Schnittgerade: hyperbolisches Kreisbüschel }}\\{\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}=0} &{\mbox{ Berührgerade: parabolisches Kreisbüschel}}\\{\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g}>0} & {\mbox{ Gerade außerhalb: elliptisches Kreisbüschel}}\end{matrix}\right\}[/math] [/*][br][*]Zwei Geraden [math]\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\in\large\mathcal{G}[/math] schneiden sich, wenn [math] \mathbf\vec{g}_i\bullet\mathbf\vec{g}_i\in \mathbb{R},i=1,2[/math] und [math] \mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2\in \mathbb{R}[/math] gelten.[br]Die Geraden schneiden sich dann [math]\left\{\begin{matrix} \mbox{innerhalb der Möbiusquadrik} & \mbox{ wenn } & {\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)>0} \\\mbox{auf der Möbiusquadrik} &\mbox{ wenn } &{\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)=0}\\\mbox{außerhalb der Möbiusquadrik} & \mbox{ wenn } & {\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)<0}\end{matrix}\right\}[/math] für die Diskriminante [math]\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)={\mathbf\vec{g}_1}^2\cdot{\mathbf\vec{g}_2}^2-\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2\right)^2[/math] gilt.[/*][br][*]Sind [math]z_1,z_2\mbox{ und }z_3,z_4\in\mathbb{C}[/math] verschiedene Punkte der Möbiusebene, und sind [math]\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)[/math] und [math]\mathbf\vec{g}(z_3,z_4)[/math] die Verbindungsgeraden, so trennen sich die Punkte-Paare genau dann [i]harmonisch[/i], wenn [math]\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)\bullet\mathbf\vec{g}(z_3,z_4)=0[/math] gilt: da die Geraden sich schneiden, liegen die Schnittpunkte mit der Möbiusquadrik in einer Ebene, also auf einem Kreis. Die [i]harmonische Lage[/i] wird durch die Beziehung [math]\frac{d+1}{d-1}=\mathbf\vec{g}(z_1,z_2)\bullet\mathbf\vec{g}(z_3,z_4)[/math] nachgewiesen. Dabei ist [math]d=Dv\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)[/math] das komplexe Doppelverhältnis der 4 Punkte. [br][/*][/list][br][right][br][color=#ff7700][color=#000000][size=100][size=50][color=#cc4125][size=85][color=#980000][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle-tools[/url] (April 2019)[br][/size][/color][/size]Diese Seite ist Teil des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc]Kugel-Kegel-Schnitte[/url] (August 2018)[/color][/size][/size][/color][/color][/right][br]

[size=85]Das [i][b]Applet unten[/b][/i] zeigt den Versuch, mit den oben angegebenen [color=#0000ff][i][b]komplexen Vektoren[/b][/i][/color] in [color=#980000][b]geogebra[/b][/color] zu rechnen. [math]g_1,g_0,g_i[/math] sind komplexe Vielfache der Orthonormal-Basis des Euklidischen Vektorraums, [math]p_{\infty},p_0[/math] können als Tangentialvektoren an die Zahlenkugel in [math]\infty[/math] bzw. in 0 gedeutet werden.[br]Definiert werden die Vektoren teils im Algebra-Fenster, teils in CAS. Skalarprodukt und Kreuzprodukt funktionieren komplex nur in CAS.[br]Die Gültigkeit der obigen Tabellen ist exemplarisch nachgeprüft. [math]p_{i,}p_{_{\left\{-i\right\}}}[/math], sind die Tangentialvektoren in [math]i,-i[/math], die Verbindungsgerade ist [math]g_i=p_i\otimes p_{\left\{-i\right\}}[/math].[br]Auf der nächsten[color=#980000][i][b] book[/b][/i][/color]-Seite versuchen wir, die Lage von [color=#0000ff][i][b]4 Punkten mit komplexer Vektorrechnung[/b][/i][/color] zu ermitteln.[/size]