SO(3, ℂ) als Möbiusgruppe

Diese Seite ist Teil des GeoGebrabooks Moebiusebene (29.09.2020)

Im komplexen, 3-dimensionalen Vektorraum mit nicht-ausgearteter quadratischer Form wird eine orientierte Basis mit ausgewählt, für welche die beiden Produkttabellen gelten sollen:
Die Bezeichnung ist gewählt, weil sich dieser Vektorraum als Geradenraum des Kugelmodells der Möbiusebene deuten läßt. Siehe zu diesem Übertragungsprinzips das book-Kapitel Möbius - Geradenraum Das Lie-Produkt [ , ] wird definiert wie im euklidischen Vektorraum das Kreuzprodukt :
  • durch die eindeutig bestimmte Linearform für alle
ist damit nichts anderes als eine Komplexifizierung des euklidischen Vektorraumes. Das Applet oben ist eine reelle Vereinfachung der komplexen Verhältnisse: so kann zB. nicht dargestellt werden, dass jede GERADE in der zu gehörenden komplexen Ebene die Quadrik (hier als Ellipse dargestellt) in einem oder in zwei PUNKTEN schneidet - komplex ist jede quadratische Gleichung lösbar! Die PUNKTE auf der Möbiusquadrik mit Ausnahme von erreicht man durch die komplexe Parametrisierung:
Es besteht somit eine 1 zu 1 Beziehung zwischen den Möbius-Punkten in und den PUNKTEN auf . Die Gruppe der gleichsinnigen Möbiustransformationen erweist sich als isomoph zu . Mehr noch: ist die LIE-Algebra dieser Gruppe! Die in den Tabellen verwendeten Vektoren nennen wir ein euklidisches Koordinatensystem von .
Diese Darstellung der ebenen Möbiusgeometrie hat Nachteile, aber sehr viele Vorteile: Die Kreise als einzelne Objekte sind nicht leicht zugänglich! Dagegen steht die Vielfalt der Deutungsmöglichkeiten der PUNKTE und der Vektoren von .
  • Die - projektiv anzusehenden - PUNKTE auf - d.h. es ist - sind die Punkte der Möbusgeometrie.
  • Die Vektoren mit können als Tangentialvektoren gedeutet werden: ist eine differenzierbare Kurve, so ist tangential an die Kurve. kann reell oder komplex sein. Im 2. Falle werden komplex-analytische Funktionen erfasst!
  • Die Vektoren können als infinitesimale Möbius-Bewegungen gedeutet werden: die lineare Abbildungen , erklärt durch für alle , wirken auf die Möbiuspunkte auf . Die Bahnkurven der Bewegungen sind je nach Typ des Vektors für reelle Parameter t hyperbolische (), oder elliptische () oder parabolische () Kreisbüschel; für erhält man loxodromische Bahnkurven, das sind die Kurven, welche ein hyperbolisches ( - oder ein elliptisches - ) Kreisbüschel unter konstantem Winkel schneiden.
  • Die Bewegungen sind Ein-Parameter-Untergruppen der Möbiusgruppe. Solche Bewegungen einer Gruppe werden als W-Bewegungen bezeichnet. Auch hier erhält man eine reelle - - oder eine komplexe - - Gruppe.
Ein lineares Vektorfeld
  • Die Tangentialvektoren der Bahnkurven einer W-Bewegung auf der Quadrik erzeugen ein lineares Vektorfeld: , mit . Siehe dazu das book-Kapitel Kreisbüschel oder lineare Vektorfelder
  • Die Vektoren mit können als Geradenvektoren im Kugel-Modell der Möbiusebene gedeutet werden: Die GERADE mit schneidet die Kugel in 2 Punkten. Die GERADE ist die nicht-schneidende Polare dazu!
  • Von Interesse sind auch die quadratischen Vektorfelder: mit . Die Berechnung ergibt eine elliptische Differentialgleichung , deren Lösungskurven bei speziellen Lagen der Brennpunkte konfokale bizirkulare Quartiken sind; dies ist zB. der Fall, wenn die Brennpunkte auf einem Kreis liegen!
  • Läßt man oben oder unten im Applet die "Brennpunkte" gegeneinander laufen, so nähern sich die Kreisbüschel und die Bahnkurven den Kreisen von parabolischen Kreisbüscheln!
Frage: Welches sind die Bahnkurven von W-Bewegungen in der Gruppe der LORENTZ-Transformationen? Da isomorph zur Gruppe der orthochtronen orientierungserhaltenden LORENTZ-Transformationen ist, ist isomorph zur LIE-Algebra dieser Gruppe!
Dieses Vektorfeld ist mit den oben angegebenen Formeln des Übertragungsprinzips konstruiert: Zu werden berechnet. Die Verbindungsgerade im Kugelmodell ist . Der Richtungsvektor im Punkt wird mit Hilfe des linearen Vektorfeldes berechnet. Dank gegebra sind alle komplexen Rechnungen problemlos!
Lösungskurven eines linearen Vektorfeldes
– Walter Füchte

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