Fachdidaktik Sekundarstufe 2
1. Modellierungen
1. Form eines Wasserstrahls
2. Der schiefe Wurf in 3D
3. Mittelwert der Temperatur
4. Bewegungsaufgabe PKW - LKW
5. Zinsenrechnung
6. Simulation des radioaktiven Zerfalls
7. Radioaktiver Zerfall
8. Entwicklung von Bakterien
9. Volumen eines Hühnereis
10. Sonnenaufgang und Sonnenuntergang
11. Fernsicht von einem Berg
12. Lohn- und Einkommensteuer (Listen)
13. Fahne im Wind
2. Modellierung Beispiele
1. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren
2. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren - Vorlage
3. Berechnung des schiefen Wurfs durch Halbschrittverfahren
4. Äquivalente Verzinsung
5. Polynomfunktion versus Splines - Vorlage
6. Polynomfunktion versus Splines
7. Bremstest 2
8. Verkehrsdurchsatz - Vorlage
9. Verkehrsdurchsatz
10. Zinsenrechnung
11. Lineares Wachstum
12. Exponentielles Wachstum
13. Richtungsfeld für y' = k·y
14. Verkaufte Smartphones - beschränktes Wachstum
15. Beschränktes Wachstum
16. Beschränktes Wachstum - Vorlage
17. Beschränktes Wachstum: Abkühlungsprozess
18. Beschränktes Wachstum: Richtungsfeld
19. Logistisches Wachstum
20. Logistisches Wachstum - Arbeitsvorlage
21. Exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum im Vergleich
22. Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
23. Logistisches Wachstum: Beispiel 1
24. Weltbevölkerung - logistisches Wachstum
25. Die logistische Gleichung
26. Bifurkation
27. Räuber - Beute - Modell
28. Räuber - Beute - Modell: Arbeitsvorlage
29. Radioaktiver Zerfall - Mutter- und Tochtersubstanz
30. Ausbreitung einer Epidemie: einfaches Modell
31. Ausbreitung einer Epidemie: verbessertes Modell
32. Ausbreitung einer Epidemie: nochmals verbessertes Modell
33. Verlauf der Epidemie Corona/Covid 19 in Österreich
34. Modell und reale Ausbreitung einer Epidemie
35. Ausbreitung einer Epidemie: SEIR-Modell
36. Medizinische Tests im Gesundheitswesen
37. Medikamenteneinnahme
38. Wachstum einer Hefekultur
3. Begründen, Argumentieren, Beweisen
1. Binomische Formel (a + b)²
2. Binomische Formel (a - b)²
3. Binomische Formel (a + b)³
4. Summe der natürlichen Zahlen
5. Grafischer Beweis für die Summe von 1 bis n
6. Polynom zur Erzeugung von Primzahlen
7. Rad-Paradoxon
8. Ein falscher Beweis
9. Füllkurve Kugel und Zylinder
10. Füllkurve eines Silos
11. Füllkurve eines Kegels - differentiell betrachtet
12. Paradoxon des Zenon von Elea
13. Konvergieren oder nicht konvergieren?
14. 3D puzzle for sum of the square integers: proof without words
4. Erarbeitung (Begriffe, Verfahren)
1. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
2. Intervallhalbierungsverfahren
3. Regula falsi
4. Das Newtonsche Näherungsverfahren
5. Regula falsi und Newton-Verfahren
6. Marmeladenproduktion (Lineare Optimierung)
7. Lupe und Newton-Näherung
8. Satellitenbahn (Euler-Cauchy-Verfahren)
9. Satellitenbahn 3D
5. Problemlösen
1. Stapel von Hölzern
2. Die Schnecke auf dem Gummiband
6. Fächerübergreifender Unterricht
1. Halbaddierer
2. Volladdierer

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Fachdidaktik Sekundarstufe 2

Andreas Lindner, Nov 8, 2018

Modellierungen
1. Form eines Wasserstrahls
2. Der schiefe Wurf in 3D
3. Mittelwert der Temperatur
4. Bewegungsaufgabe PKW - LKW
5. Zinsenrechnung
6. Simulation des radioaktiven Zerfalls
7. Radioaktiver Zerfall
8. Entwicklung von Bakterien
9. Volumen eines Hühnereis
10. Sonnenaufgang und Sonnenuntergang
11. Fernsicht von einem Berg
12. Lohn- und Einkommensteuer (Listen)
13. Fahne im Wind
Modellierung Beispiele
1. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren
2. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren - Vorlage
3. Berechnung des schiefen Wurfs durch Halbschrittverfahren
4. Äquivalente Verzinsung
5. Polynomfunktion versus Splines - Vorlage
6. Polynomfunktion versus Splines
7. Bremstest 2
8. Verkehrsdurchsatz - Vorlage
9. Verkehrsdurchsatz
10. Zinsenrechnung
11. Lineares Wachstum
12. Exponentielles Wachstum
13. Richtungsfeld für y' = k·y
14. Verkaufte Smartphones - beschränktes Wachstum
15. Beschränktes Wachstum
16. Beschränktes Wachstum - Vorlage
17. Beschränktes Wachstum: Abkühlungsprozess
18. Beschränktes Wachstum: Richtungsfeld
19. Logistisches Wachstum
20. Logistisches Wachstum - Arbeitsvorlage
21. Exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum im Vergleich
22. Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
23. Logistisches Wachstum: Beispiel 1
24. Weltbevölkerung - logistisches Wachstum
25. Die logistische Gleichung
26. Bifurkation
27. Räuber - Beute - Modell
28. Räuber - Beute - Modell: Arbeitsvorlage
29. Radioaktiver Zerfall - Mutter- und Tochtersubstanz
30. Ausbreitung einer Epidemie: einfaches Modell
31. Ausbreitung einer Epidemie: verbessertes Modell
32. Ausbreitung einer Epidemie: nochmals verbessertes Modell
33. Verlauf der Epidemie Corona/Covid 19 in Österreich
34. Modell und reale Ausbreitung einer Epidemie
35. Ausbreitung einer Epidemie: SEIR-Modell
36. Medizinische Tests im Gesundheitswesen
37. Medikamenteneinnahme
38. Wachstum einer Hefekultur
Begründen, Argumentieren, Beweisen
1. Binomische Formel (a + b)²
2. Binomische Formel (a - b)²
3. Binomische Formel (a + b)³
4. Summe der natürlichen Zahlen
5. Grafischer Beweis für die Summe von 1 bis n
6. Polynom zur Erzeugung von Primzahlen
7. Rad-Paradoxon
8. Ein falscher Beweis
9. Füllkurve Kugel und Zylinder
10. Füllkurve eines Silos
11. Füllkurve eines Kegels - differentiell betrachtet
12. Paradoxon des Zenon von Elea
13. Konvergieren oder nicht konvergieren?
14. 3D puzzle for sum of the square integers: proof without words
Erarbeitung (Begriffe, Verfahren)
1. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
2. Intervallhalbierungsverfahren
3. Regula falsi
4. Das Newtonsche Näherungsverfahren
5. Regula falsi und Newton-Verfahren
6. Marmeladenproduktion (Lineare Optimierung)
7. Lupe und Newton-Näherung
8. Satellitenbahn (Euler-Cauchy-Verfahren)
9. Satellitenbahn 3D
Problemlösen
1. Stapel von Hölzern
2. Die Schnecke auf dem Gummiband
Fächerübergreifender Unterricht
1. Halbaddierer
2. Volladdierer

Information

Modellierungen

1. Form eines Wasserstrahls
2. Der schiefe Wurf in 3D
3. Mittelwert der Temperatur
4. Bewegungsaufgabe PKW - LKW
5. Zinsenrechnung
6. Simulation des radioaktiven Zerfalls
7. Radioaktiver Zerfall
8. Entwicklung von Bakterien
9. Volumen eines Hühnereis
10. Sonnenaufgang und Sonnenuntergang
11. Fernsicht von einem Berg
12. Lohn- und Einkommensteuer (Listen)
13. Fahne im Wind

Form eines Wasserstrahls

Versuche, den Wasserstrahl durch eine geeignete Funktion anzunähern. Ist dies möglich? Wenn nicht, welche Gründe können eine Rolle spielen?

– Andreas Lindner

Modellierung Beispiele

1. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren
2. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren - Vorlage
3. Berechnung des schiefen Wurfs durch Halbschrittverfahren
4. Äquivalente Verzinsung
5. Polynomfunktion versus Splines - Vorlage
6. Polynomfunktion versus Splines
7. Bremstest 2
8. Verkehrsdurchsatz - Vorlage
9. Verkehrsdurchsatz
10. Zinsenrechnung
11. Lineares Wachstum
12. Exponentielles Wachstum
13. Richtungsfeld für y' = k·y
14. Verkaufte Smartphones - beschränktes Wachstum
15. Beschränktes Wachstum
16. Beschränktes Wachstum - Vorlage
17. Beschränktes Wachstum: Abkühlungsprozess
18. Beschränktes Wachstum: Richtungsfeld
19. Logistisches Wachstum
20. Logistisches Wachstum - Arbeitsvorlage
21. Exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum im Vergleich
22. Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
23. Logistisches Wachstum: Beispiel 1
24. Weltbevölkerung - logistisches Wachstum
25. Die logistische Gleichung
26. Bifurkation
27. Räuber - Beute - Modell
28. Räuber - Beute - Modell: Arbeitsvorlage
29. Radioaktiver Zerfall - Mutter- und Tochtersubstanz
30. Ausbreitung einer Epidemie: einfaches Modell
31. Ausbreitung einer Epidemie: verbessertes Modell
32. Ausbreitung einer Epidemie: nochmals verbessertes Modell
33. Verlauf der Epidemie Corona/Covid 19 in Österreich
34. Modell und reale Ausbreitung einer Epidemie
35. Ausbreitung einer Epidemie: SEIR-Modell
36. Medizinische Tests im Gesundheitswesen
37. Medikamenteneinnahme
38. Wachstum einer Hefekultur

Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren

Numerische Berechnung für den schiefen Wurf

Euler-Verfahren Sind für einen Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt t₀ der Ort und die wirkenden Kräfte (und damit die Beschleunigung) bekannt, so kann man die Bahn des Körpers (unter Umständen) durch Lösen der Bewegungsgleichung analytisch berechnen. Eine andere Möglichkeit ist die schrittweise näherungsweise Berechnung der Größen Ort und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t+Δt aus den Größen zum Zeitpunkt t. Ein einfaches numerisches Verfahren ist das Euler-Verfahren. Euler-Verfahren t_neu = t_alt + Δt v_neu = v_alt + a·Δt s_neu = s_alt + valt·Δt (t Zeit, v Geschwindigkeit, s Ort) Aufgabe Verändere mit den Schiebereglern die Parameter für den schiefen Wurf. Wie verändert sich die Genauigkeit der Berechnung für kleineres oder größeres Δt?

Das Halbschrittverfahren

Beim Euler-Verfahren wird die Geschwindigkeit am Beginn eines Zeitintervalls Δt verwendet. Diese Geschwindigkeit bleibt aber nicht für das ganze Zeitintervall gleich, sondern ändert sich. Um dies besser auszugleichen, kann man die Geschwindigkeit in der Mitte des Zeitintervalls Δt zur Berechnung verwenden. Man nimmt also für den ersten Wert der Geschwindigkeit v₀ + a·Δt/2 und geht anschließend wie bei der Euler-Methode vor. Halbschritt-Verfahren Startwert für die Geschwindigkeit:

(v₀ Abschussgeschwindigkeit) t_neu = t_alt + Δt v_neu = v_alt + a·Δt s_neu = s_alt + v_alt·Δt (t Zeit, v Geschwindigkeit, s Ort) Aufgabe Verändere mit den Schiebereglern die Parameter für den schiefen Wurf. Wie verändert sich die Genauigkeit der Berechnung für kleineres oder größeres Δt?

Hinweis: Wie man beim Einblenden der exakten Lösung sieht, liegen alle Punkte, die mit der Halbschrittmethode berechnet werden, auf der exakten Bahnkurve. Dies gilt nur für parabelförmige Kurven. Begründung

Die Steigung der Sekante zwischen x₁ und x₂ ist gleich der Steigung der Tangente bei

Skizze zum Halbschrittverfahren

– Andreas Lindner

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.8.

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2.37.

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2.38.

–

3.

Begründen, Argumentieren, Beweisen

1. Binomische Formel (a + b)²
2. Binomische Formel (a - b)²
3. Binomische Formel (a + b)³
4. Summe der natürlichen Zahlen
5. Grafischer Beweis für die Summe von 1 bis n
6. Polynom zur Erzeugung von Primzahlen
7. Rad-Paradoxon
8. Ein falscher Beweis
9. Füllkurve Kugel und Zylinder
10. Füllkurve eines Silos
11. Füllkurve eines Kegels - differentiell betrachtet
12. Paradoxon des Zenon von Elea
13. Konvergieren oder nicht konvergieren?
14. 3D puzzle for sum of the square integers: proof without words

3.1.

Binomische Formel (a + b)²

– Dimensionen

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

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3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

4.

Erarbeitung (Begriffe, Verfahren)

1. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
2. Intervallhalbierungsverfahren
3. Regula falsi
4. Das Newtonsche Näherungsverfahren
5. Regula falsi und Newton-Verfahren
6. Marmeladenproduktion (Lineare Optimierung)
7. Lupe und Newton-Näherung
8. Satellitenbahn (Euler-Cauchy-Verfahren)
9. Satellitenbahn 3D

4.1.

Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)

Bereits in Babylonien kannte man ein Verfahren zur näherungsweisen Berechnung einer Wurzel. Iterationsformel

Geometrische Interpretation Gesucht ist die Seitenlänge eines Quadrats, das den Flächeninhalt A besitzt. Ausgehend von einem Rechteck der Breite x₁ wird die Länge mit

berechnet. Eine der beiden Seitenlänge ist zu kurz, die andere zu lang. Deshalb wird der Mittelwert von beiden gebildet und mit diesem als erstem Näherungswert die Iteration weitergeführt. Auf diese Art entsteht eine Folge von Rechtecken, die sich immer mehr einem Quadrat mit der gesuchten Seitenlänge annähert. Aufgabe Verändere den Startwert x₁ der Iteration. Gib im Eingabefeld einen anderen Wert für A ein und bestimme näherungsweise die Wurzel aus A.

Weitere Ausführungen zum Heron'schen Wurzelziehen

Web-Diagramm

Eine alternative Darstellungsform ist die Veranschaulichung der Iteration als Web-Diagramm oder Web-Plot. Aufgabe Verändere den Startwert x₁ für die Berechnung der Wurzel aus A = 12. Gib im Eingabefeld einen anderen Wert für A ein und bestimme näherungsweise die Wurzel aus A.

Monotonie des Verfahrens

Im folgenden Applet sieht man , dass die Folge der Längen der Rechtecke monoton fallend und die Folge der Breiten der Rechtecke monoton steigend ist (abgesehen vom ersten Folgenglied) .

– Andreas Lindner

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

5.

Problemlösen

1. Stapel von Hölzern
2. Die Schnecke auf dem Gummiband

5.1.

Stapel von Hölzern

Die harmonische Reihe

Die Reihe

wird als harmonische Reihe bezeichnet. Diese Reihe ist bestimmt divergent.

Zur Bedeutung der Divergenz der harmonischen Reihe

Man kann (Spielzeug)Hölzer oder Bücher so übereinander stapeln, dass sie einen gewissen Überhang erzeugen.

Foto: privat

Wie groß kann der Überhang maximal werden?

Aufgabe Veranschauliche die Problemstellung in dem bereitgestellten Applet.

Hinweis Zur Berechnung des Schwerpunkt siehe auch das Unterrichtsmaterial Der Schwerpunkt.

Zur Herleitung der Schwerpunktskoordinaten

Gesamtüberhang

Für den Gesamtüberhang beim n-ten Holz ergibt sich somit als Summe aller Einzelüberhänge

. Da die harmonische Summe divergegiert, bedeutet dies, dass man mit entsprechend vielen Hölzer einen beliebig großen Überhang erzeugen kann.

– Andreas Lindner

5.2.

–

6.

Fächerübergreifender Unterricht

1. Halbaddierer
2. Volladdierer

6.1.

Halbaddierer

Ein Halbaddierer kann zwei Binärzahlen (ohne Übertrag, carry in) addieren. Das Ergebnis ist die Summe der beiden Binärzahlen und der Übertrag (carry on). Aufgabe Verändere die Eingänge a und b, indem du auf die Schaltflächen klickst.

Eine Simulation mit Tinkercad Curcuits

Der Halbaddierer ist mit zwei ICs des Modells 7400 umgesetzt worden, die aus jeweils vier NAND Gatter bestehen. Starte die Simulation mit Tinkercad, indem du unter der Arbeitsfläche auf ▶ Simulate und anschließend oberhalb auf Start Simulation klickst. Bei Bedarf kannst du in die Schaltung zoomen, um die beiden Schalter für die Eingänge a und b besser bedienen zu können. Hinweis: AUTODESK Tinkercad Curcuits https://www.tinkercad.com ist eine frei zugängliche Plattform zum Erstellen von Schaltkreisen.