Fachdidaktik Sekundarstufe 2

Andreas Lindner, Nov 8, 2018

Fachdidaktik Sekundarstufe 2

Table of Contents

  1. Modellierungen
    1. Form eines Wasserstrahls
    2. Der schiefe Wurf in 3D
    3. Mittelwert der Temperatur
    4. Bewegungsaufgabe PKW - LKW
    5. Zinsenrechnung
    6. Simulation des radioaktiven Zerfalls
    7. Radioaktiver Zerfall
    8. Entwicklung von Bakterien
    9. Volumen eines Hühnereis
    10. Sonnenaufgang und Sonnenuntergang
    11. Fernsicht von einem Berg
    12. Lohn- und Einkommensteuer (Listen)
    13. Fahne im Wind
  2. Modellierung Beispiele
    1. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren
    2. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren - Vorlage
    3. Berechnung des schiefen Wurfs durch Halbschrittverfahren
    4. Äquivalente Verzinsung
    5. Polynomfunktion versus Splines - Vorlage
    6. Polynomfunktion versus Splines
    7. Bremstest 2
    8. Verkehrsdurchsatz - Vorlage
    9. Verkehrsdurchsatz
    10. Zinsenrechnung
    11. Lineares Wachstum
    12. Exponentielles Wachstum
    13. Richtungsfeld für y' = k·y
    14. Verkaufte Smartphones - beschränktes Wachstum
    15. Beschränktes Wachstum
    16. Beschränktes Wachstum - Vorlage
    17. Beschränktes Wachstum: Abkühlungsprozess
    18. Beschränktes Wachstum: Richtungsfeld
    19. Logistisches Wachstum
    20. Exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum im Vergleich
    21. Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
    22. Logistisches Wachstum: Beispiel 1
    23. Weltbevölkerung - logistisches Wachstum
    24. Die logistische Gleichung
    25. Bifurkation
    26. Räuber - Beute - Modell
    27. Radioaktiver Zerfall - Mutter- und Tochtersubstanz
    28. Ausbreitung einer Epidemie: einfaches Modell
    29. Ausbreitung einer Epidemie: verbessertes Modell
    30. Ausbreitung einer Epidemie: nochmals verbessertes Modell
    31. Verlauf der Epidemie Corona/Covid 19 in Österreich
    32. Modell und reale Ausbreitung einer Epidemie
    33. Ausbreitung einer Epidemie: SEIR-Modell
    34. Medizinische Tests im Gesundheitswesen
    35. Medikamenteneinnahme
    36. Wachstum einer Hefekultur
  3. Begründen, Argumentieren, Beweisen
    1. Binomische Formel (a + b)²
    2. Binomische Formel (a - b)²
    3. Binomische Formel (a + b)³
    4. Summe der natürlichen Zahlen
    5. Grafischer Beweis für die Summe von 1 bis n
    6. Polynom zur Erzeugung von Primzahlen
    7. Rad-Paradoxon
    8. Ein falscher Beweis
    9. Füllkurve Kugel und Zylinder
    10. Füllkurve eines Silos
    11. Füllkurve eines Kegels - differentiell betrachtet
    12. Paradoxon des Zenon von Elea
    13. Konvergieren oder nicht konvergieren?
    14. 3D puzzle for sum of the square integers: proof without words
  4. Erarbeitung (Begriffe, Verfahren)
    1. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
    2. Intervallhalbierungsverfahren
    3. Regula falsi
    4. Das Newtonsche Näherungsverfahren
    5. Regula falsi und Newton-Verfahren
    6. Marmeladenproduktion (Lineare Optimierung)
    7. Lupe und Newton-Näherung
    8. Satellitenbahn (Euler-Cauchy-Verfahren)
    9. Satellitenbahn 3D
  5. Problemlösen
    1. Stapel von Hölzern
    2. Die Schnecke auf dem Gummiband
  6. Fächerübergreifender Unterricht
    1. Halbaddierer
    2. Volladdierer

1.

Modellierungen

  • 1. Form eines Wasserstrahls
  • 2. Der schiefe Wurf in 3D
  • 3. Mittelwert der Temperatur
  • 4. Bewegungsaufgabe PKW - LKW
  • 5. Zinsenrechnung
  • 6. Simulation des radioaktiven Zerfalls
  • 7. Radioaktiver Zerfall
  • 8. Entwicklung von Bakterien
  • 9. Volumen eines Hühnereis
  • 10. Sonnenaufgang und Sonnenuntergang
  • 11. Fernsicht von einem Berg
  • 12. Lohn- und Einkommensteuer (Listen)
  • 13. Fahne im Wind

1.1.

Form eines Wasserstrahls

Versuche, den Wasserstrahl durch eine geeignete Funktion anzunähern.[br]Ist dies möglich? Wenn nicht, welche Gründe können eine Rolle spielen?
– Andreas Lindner

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.9.

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1.10.

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1.11.

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1.12.

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1.13.

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2.

Modellierung Beispiele

  • 1. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren
  • 2. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren - Vorlage
  • 3. Berechnung des schiefen Wurfs durch Halbschrittverfahren
  • 4. Äquivalente Verzinsung
  • 5. Polynomfunktion versus Splines - Vorlage
  • 6. Polynomfunktion versus Splines
  • 7. Bremstest 2
  • 8. Verkehrsdurchsatz - Vorlage
  • 9. Verkehrsdurchsatz
  • 10. Zinsenrechnung
  • 11. Lineares Wachstum
  • 12. Exponentielles Wachstum
  • 13. Richtungsfeld für y' = k·y
  • 14. Verkaufte Smartphones - beschränktes Wachstum
  • 15. Beschränktes Wachstum
  • 16. Beschränktes Wachstum - Vorlage
  • 17. Beschränktes Wachstum: Abkühlungsprozess
  • 18. Beschränktes Wachstum: Richtungsfeld
  • 19. Logistisches Wachstum
  • 20. Exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum im Vergleich
  • 21. Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
  • 22. Logistisches Wachstum: Beispiel 1
  • 23. Weltbevölkerung - logistisches Wachstum
  • 24. Die logistische Gleichung
  • 25. Bifurkation
  • 26. Räuber - Beute - Modell
  • 27. Radioaktiver Zerfall - Mutter- und Tochtersubstanz
  • 28. Ausbreitung einer Epidemie: einfaches Modell
  • 29. Ausbreitung einer Epidemie: verbessertes Modell
  • 30. Ausbreitung einer Epidemie: nochmals verbessertes Modell
  • 31. Verlauf der Epidemie Corona/Covid 19 in Österreich
  • 32. Modell und reale Ausbreitung einer Epidemie
  • 33. Ausbreitung einer Epidemie: SEIR-Modell
  • 34. Medizinische Tests im Gesundheitswesen
  • 35. Medikamenteneinnahme
  • 36. Wachstum einer Hefekultur

2.1.

Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren

Numerische Berechnung für den schiefen Wurf
[b]Euler-Verfahren[/b][br]Sind für einen Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt t[sub]0[/sub] der Ort und die wirkenden Kräfte (und damit die Beschleunigung) bekannt, so kann man die Bahn des Körpers (unter Umständen) durch Lösen der Bewegungsgleichung analytisch berechnen.[br][br]Eine andere Möglichkeit ist die schrittweise näherungsweise Berechnung der Größen Ort und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t+Δt aus den Größen zum Zeitpunkt t. [br]Ein einfaches numerisches Verfahren ist das [i]Euler-Verfahren[/i].[br][br][b]Euler-Verfahren[/b][br]t[sub]neu[/sub] = t[sub]alt[/sub] + Δt[br]v[sub]neu[/sub] = v[sub]alt[/sub] + a·Δt[br]s[sub]neu[/sub] = s[sub]alt[/sub] + valt·Δt[br][size=85](t Zeit, v Geschwindigkeit, s Ort)[br][br][/size][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Parameter für den schiefen Wurf.[br]Wie verändert sich die Genauigkeit der Berechnung für kleineres oder größeres Δt?
Das Halbschrittverfahren
Beim Euler-Verfahren wird die Geschwindigkeit am Beginn eines Zeitintervalls Δt verwendet. Diese Geschwindigkeit bleibt aber nicht für das ganze Zeitintervall gleich, sondern ändert sich. Um dies besser auszugleichen, kann man die Geschwindigkeit in der Mitte des Zeitintervalls Δt zur Berechnung verwenden.[br]Man nimmt also für den ersten Wert der Geschwindigkeit v[sub]0[/sub] + a·Δt/2 und geht anschließend wie bei der Euler-Methode vor.[br][br][b]Halbschritt-Verfahren[br][/b]Startwert für die Geschwindigkeit: [math]v_0+a\cdot\frac{\Delta t}{2}[/math] (v[sub]0[/sub] Abschussgeschwindigkeit)[br]t[sub]neu[/sub] = t[sub]alt[/sub] + Δt[br]v[sub]neu[/sub] = v[sub]alt[/sub] + a·Δt[br]s[sub]neu[/sub] = s[sub]alt[/sub] + v[sub]alt[/sub]·Δt[br][size=85](t Zeit, v Geschwindigkeit, s Ort)[br][br][/size][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Parameter für den schiefen Wurf.[br]Wie verändert sich die Genauigkeit der Berechnung für kleineres oder größeres Δt?
[i]Hinweis[/i]:[br]Wie man beim Einblenden der exakten Lösung sieht, liegen alle Punkte, die mit der Halbschrittmethode [br]berechnet werden, auf der exakten Bahnkurve. Dies gilt nur für parabelförmige Kurven.[br][br][i]Begründung[/i][br][math]f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math][br][math]f'\left(x\right)=2a\cdot x+b[/math][br]Die Steigung der Sekante zwischen x[sub]1[/sub] und x[sub]2[/sub] ist gleich der Steigung der Tangente bei [math]\frac{x_1+x_2}{2}[/math].[br][math]k_s=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{\left(a\cdot x_2^2+b\cdot x_2+c\right)-\left(a\cdot x_1^2+b\cdot x_1+c\right)}{x_2-x_1}=\frac{a\cdot\left(x_2^2-x_1^2\right)+b\cdot\left(x_2-x_1\right)}{x_2-x_1}=a\cdot\left(x_2+x_1\right)+b[/math][br][math]k_t=f'\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)=2a\cdot\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)+b=a\cdot\left(x_1+x_2\right)+b[/math]
Skizze zum Halbschrittverfahren
– Andreas Lindner

2.2.

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2.36.

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3.

Begründen, Argumentieren, Beweisen

  • 1. Binomische Formel (a + b)²
  • 2. Binomische Formel (a - b)²
  • 3. Binomische Formel (a + b)³
  • 4. Summe der natürlichen Zahlen
  • 5. Grafischer Beweis für die Summe von 1 bis n
  • 6. Polynom zur Erzeugung von Primzahlen
  • 7. Rad-Paradoxon
  • 8. Ein falscher Beweis
  • 9. Füllkurve Kugel und Zylinder
  • 10. Füllkurve eines Silos
  • 11. Füllkurve eines Kegels - differentiell betrachtet
  • 12. Paradoxon des Zenon von Elea
  • 13. Konvergieren oder nicht konvergieren?
  • 14. 3D puzzle for sum of the square integers: proof without words

3.1.

Binomische Formel (a + b)²

– Dimensionen

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.6.

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3.10.

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3.11.

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3.12.

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3.13.

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3.14.

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4.

Erarbeitung (Begriffe, Verfahren)

  • 1. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
  • 2. Intervallhalbierungsverfahren
  • 3. Regula falsi
  • 4. Das Newtonsche Näherungsverfahren
  • 5. Regula falsi und Newton-Verfahren
  • 6. Marmeladenproduktion (Lineare Optimierung)
  • 7. Lupe und Newton-Näherung
  • 8. Satellitenbahn (Euler-Cauchy-Verfahren)
  • 9. Satellitenbahn 3D

4.1.

Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)

Bereits in Babylonien kannte man ein Verfahren zur näherungsweisen Berechnung einer Wurzel.[br][br][b]Iterationsformel[/b]  [math]x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{A}{x_n}}{2}[/math][br][br][b]Geometrische Interpretation[/b][br]Gesucht ist die Seitenlänge eines Quadrats, das den Flächeninhalt A besitzt.[br]Ausgehend von einem Rechteck der Breite x[sub]1[/sub] wird die Länge mit [math]\frac{A}{x_1}[/math] berechnet. Eine der beiden Seitenlänge ist zu kurz, die andere zu lang. Deshalb wird der Mittelwert von beiden gebildet  und mit diesem als erstem Näherungswert die Iteration weitergeführt.[br]Auf diese Art entsteht eine Folge von Rechtecken, die sich immer mehr einem Quadrat mit der gesuchten Seitenlänge annähert.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere den [color=#FF0000]Startwert x[sub]1[/sub][/color] der Iteration.[br]Gib im Eingabefeld einen anderen Wert für A ein und bestimme näherungsweise die Wurzel aus A.
Weitere Ausführungen zum Heron'schen Wurzelziehen
Web-Diagramm
Eine alternative Darstellungsform ist die Veranschaulichung der Iteration als [b]Web-Diagramm[/b] oder [b]Web-Plot[/b].[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere den [color=#ff0000]Startwert x[sub]1[/sub][/color] für die Berechnung der Wurzel aus A = 12.[br]Gib im Eingabefeld einen anderen Wert für A ein und bestimme näherungsweise die Wurzel aus A.
Monotonie des Verfahrens
Im folgenden Applet sieht man , dass die [color=#45818e][b]Folge der Längen[/b][/color] der Rechtecke [b][color=#45818e]monoton fallend[/color][/b] und die [b][color=#0000ff]Folge der Breiten[/color][/b] der Rechtecke [b][color=#0000ff]monoton steigend[/color][/b] ist (abgesehen vom ersten Folgenglied) .
– Andreas Lindner

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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5.

Problemlösen

  • 1. Stapel von Hölzern
  • 2. Die Schnecke auf dem Gummiband

5.1.

Stapel von Hölzern

Die harmonische Reihe
Die Reihe [math]\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}[/math] wird als [b]harmonische Reihe[/b] bezeichnet.[br]Diese Reihe ist bestimmt divergent.[br]
Zur Bedeutung der Divergenz der harmonischen Reihe
Man kann (Spielzeug)Hölzer oder Bücher so übereinander stapeln, dass sie einen gewissen Überhang erzeugen.
Foto: privat
Wie groß kann der Überhang maximal werden?
[b]Aufgabe[/b][br]Veranschauliche die Problemstellung in dem bereitgestellten Applet.
Hinweis[br]Zur Berechnung des Schwerpunkt siehe auch das Unterrichtsmaterial [url=https://www.geogebra.org/m/dpv2rphf]Der Schwerpunkt[/url].
Zur Herleitung der Schwerpunktskoordinaten
Gesamtüberhang
Für den Gesamtüberhang beim n-ten Holz ergibt sich somit als Summe aller Einzelüberhänge [math]\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k}=\frac{1}{2}\cdot \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}[/math].[br]Da die harmonische Summe divergegiert, bedeutet dies, dass man mit entsprechend vielen Hölzer [b]einen beliebig großen Überhang[/b] erzeugen kann.
– Andreas Lindner

5.2.

–

6.

Fächerübergreifender Unterricht

  • 1. Halbaddierer
  • 2. Volladdierer

6.1.

Halbaddierer

Ein Halbaddierer kann zwei Binärzahlen (ohne Übertrag, carry in) addieren.[br]Das Ergebnis ist die Summe der beiden Binärzahlen und der Übertrag (carry on).[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Eingänge [b]a[/b] und [b]b[/b], indem du auf die Schaltflächen klickst.
Eine Simulation mit Tinkercad Curcuits
Der Halbaddierer ist mit zwei ICs des Modells 7400 umgesetzt worden, die aus jeweils vier NAND Gatter bestehen.[br][br]Starte die Simulation mit Tinkercad, indem du unter der Arbeitsfläche auf [b][size=150]▶[/size] Simulate[/b] und anschließend oberhalb auf [i][b]Start Simulation[/b][/i] klickst.[br]Bei Bedarf kannst du in die Schaltung zoomen, um die beiden Schalter für die Eingänge a und b besser bedienen zu können.[br][br]Hinweis:[br]AUTODESK Tinkercad Curcuits [url=https://www.tinkercad.com]https://www.tinkercad.com[/url] ist eine frei zugängliche Plattform zum Erstellen von Schaltkreisen.
Halbaddierer auf www.simulator.io
– Andreas Lindner

6.2.

–

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