微分法と接線

Bunryu Kamimura, Nov 5, 2015

微分法をグラフから考えてみよう。微分や導関数の図における意味は何だろうか。 そこでは接線が大きな意味を持っている。 その接線の性質を追求してみた。どんどん拡張をしていくととてもきれいな法則が見つかる。 そして、最後に対数関数では接線から導関数を導くことができた。

Table of Contents

  1. 接線の性質
    1. はじめの課題
    2. y=ax^2の変化
    3. ｄｙ／ｄｘの極限
    4. 接線と微分
    5. 反比例の接線の性質
  2. 接線と微分
    1. y=x^3の接線の意味と微分
    2. ｙ＝ｘ＾３の微分
    3. y=x^3の接線の足
    4. ベキ関数の微分
    5. ベキ関数の微分のまとめ（n>0）
  3. いろいろな関数の接線の意味
    1. y＝e^xの微分
    2. sinの微分
    3. y=x^(-n)の微分
    4. ベキ関数のまとめ（n：整数）
    5. y=x^a　a:有理数の場合
    6. 指数関数と対数関数の微分
    7. 対数関数の微分
  4. 導関数の図の意味
    1. 導関数の図的意味
    2. ｙ＝ｘ＾３の導関数の図の意味
    3. ベキ乗関数の導関数
    4. 微分の一般化
    5. y=x^2+ax+bの導関数
    6. 二次関数の導関数

1.

接線の性質

接線は導関数の図化である。 その意味を図で考えてみよう。

  • 1. はじめの課題
  • 2. y=ax^2の変化
  • 3. ｄｙ／ｄｘの極限
  • 4. 接線と微分
  • 5. 反比例の接線の性質

1.1.

はじめの課題

[math]y=x^2[/math]の導関数は[math]y=2x[/math]です。[br]この二つの関数の間にはどんな関係があるのか考えてみましょう。[br]この二つの関数をつなぐものは[b]接線[/b]です。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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2.

接線と微分

接線とｘ軸との交点には深い意味がある。 その意味とは？

  • 1. y=x^3の接線の意味と微分
  • 2. ｙ＝ｘ＾３の微分
  • 3. y=x^3の接線の足
  • 4. ベキ関数の微分
  • 5. ベキ関数の微分のまとめ（n>0）

2.1.

y=x^3の接線の意味と微分

[math]y=x^3[/math]の接線の足CとBの長さはｘの３分の１となる。
y=x^3の接線の意味と微分
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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3.

いろいろな関数の接線の意味

ベキ関数だけでなく、他の関数でも接線とｘ軸の交点の意味を調べてみよう。 さらに、ベキ関数の指数を有理数まで拡張すると・・・。

  • 1. y＝e^xの微分
  • 2. sinの微分
  • 3. y=x^(-n)の微分
  • 4. ベキ関数のまとめ（n：整数）
  • 5. y=x^a　a:有理数の場合
  • 6. 指数関数と対数関数の微分
  • 7. 対数関数の微分

3.1.

y＝e^xの微分

[math]y=e^x[/math]は微分しても変わらない。[br]それは接線のどこに顕われるのか？[br]そして、接線と微分との関係は？
y＝e^xの微分
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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4.

導関数の図の意味

導関数を接線から導いてみよう。 傾きを数値化するために、一辺が１の三角形を用いる。 すると、その軌跡が・・・。

  • 1. 導関数の図的意味
  • 2. ｙ＝ｘ＾３の導関数の図の意味
  • 3. ベキ乗関数の導関数
  • 4. 微分の一般化
  • 5. y=x^2+ax+bの導関数
  • 6. 二次関数の導関数

4.1.

導関数の図的意味

接線の傾きの変化を示したものが導関数です。[br]元の関数（原始関数）から導き出された関数という意味です。
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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