Trigonometrija
trigonometrija
Table of Contents
- Ugao i trigonometrijska kružnica
- Stupnjevi i radijani
- Glavna mjera kuta
- Namatanje brojevnog pravca na brojevnu kružnicu
- Trigonometrijske funkcije
- Definicija trigonometrijskih funkcija
- Svojstva trigonometrijskih funkcija
- Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija
- Trigonometrijski identiteti
- Trigonometrijski identiteti
- Grafovi trigonometrijskih funkcija
- Nastajanje sinusoide i kosinusoide
- Nastajanje tangensoide i kotangensoide
- Grafovi trigonometrijskih funkcija
- Trigonometrijske jednačine i nejednačine
- Trigonometrijske jednadžbe
- Trigonometrijske nejednadžbe
Stupnjevi i radijani
Prikazana je kružnica čija je prva zraka kuta pozitivni dio osi apscisa, a drugi se krak vrti u pozitivnom smjeru. [br][b]U donjem desnom kutu ponuđene su mjere kutova u stupnjevima i radijanima. Povuci ih do željene pozicije na kružnici.[/b] Odgovore provjeri klikom na [i]Stupnjevi [/i]ili [i]Radijani.[/i]
Definicija trigonometrijskih funkcija
Prvi nazivi za sinus i kosinus su [i]jiva [/i]i [i]konjiva [/i]te potječu još od starih Indijaca. [i]Jiva [/i]na sanskrtu znači tetiva, a Arapi je prevode kao [i]džiba [/i](čitaj: džaib) te znači zaljev, pazuh.[br]Tangens u 16. stoljeću uvodi Thomas Finck što na latinskom znači odsječak tangente.[br][br][br]Promotri sliku i odgovori:[br][b]Koje su koordinate točaka [color=#741b47]E (t)[/color],[color=#38761d] T[/color], [color=#f1c232]C [/color]?[br][/b]Odgovor provjeri klikom na [i]Pokaži koordinate točaka E (t), T, C.[br][br][/i]Nakon toga pročitaj tekst ispod apleta.
Ordinata točke[color=#741b47] [b]E (t)[/b][/color] zove se [color=#ff0000][b]sinus broja [/b][/color][i][b][color=#ff0000]t [/color][/b][/i]i označava se[i] sin t.[/i][br]Apscisa točke[color=#741b47] [b]E (t)[/b] [/color]zove se [b][color=#0b5394]kosinus broja [/color][/b][i][color=#0b5394][b]t[/b][/color] [/i]i označava se [i]cos t.[br][/i]Ordinata točke [color=#38761d][b]T [/b][/color]zove se [color=#38761d][b]tangens broja [/b][/color][i][b][color=#38761d]t[/color][/b] [/i][i]i [/i]označava se[i] tg t.[br][/i]Apscisa točke [color=#f1c232][b]C[/b][/color] zove se [b][color=#f1c232]kotangens broja [/color][/b][i][color=#f1c232][b]t[/b][/color] [/i]i označava se [i]ctg t.[br][br][/i]Za funkcije tangens i kotangens vrijedi također vrijedi:[br][br][math]tg\left(t\right)=\frac{sin\left(t\right)}{cos\left(t\right)}[/math], [math]ctg\left(t\right)=\frac{cos\left(t\right)}{sin\left(t\right)}[/math][i].[br][br][/i]
Predznaci trigonometrijskih funkcija
Pomiči točku [b][color=#741b47]E (t)[/color] [/b]i promotri vrijednosti koordinate točke [b][color=#741b47]E (t)[/color] [/b]pa [b]odredi predznake funkcije sinus i kosinus u I., II., III. i IV. kvadrantu[/b]. [br]Isto napravi za funkciju tangens i kotangens promatrajući točke [b][color=#93c47d]T[/color][/b] i [b][color=#f1c232]C[/color][/b].[br][br]Odgovore provjeri klikom na [i]Pokaži predznake[/i].
Trigonometrijski identiteti
Pomičući točku pogledaj najvažnije identitete trigonometrijskih funkcija.[br][br]Mijenjaj kuteve [i]t [/i]i [i]z [/i]te se uvjeri u ispravnost identiteta tako da u formule uvrstiš odgovarajuće vrijednosti funkcija pri dnu apleta.
Nastajanje sinusoide i kosinusoide
Za crtanje grafa funkcije sinus, kliknite na gumb [color=#ff0000][b]Sinus[/b][/color]. Za crtanje grafa funkcije kosinus, kliknite na gumb [color=#1155cc][b]Kosinus[/b][/color]. [br]Kako biste zaustavili animaciju, kliknite na gumb [b][color=#00ff00]Stop[/color][/b], a klikom na gumb [b][color=#00ff00]Osvježi[/color][/b], vraćate se u početno stanje.[br][br]Uz pomoć dobivenih grafova odgovorite na pitanja ispod apleta.
Na brojevnoj kružnici prikazana je točka E (t), pri čemu je t duljina kružnog luka BE(t) obojana ljubičastom bojom na kružnici. Koje su koordinate točke E (t) ?[br][br](vidi aktivnost [i][url=https://www.geogebra.org/m/tj3m7npe#material/qedtbbmx]Definicija trigonometrijskih funkcija[/url][/i])[br]
Prilikom animacije prikazano je odmatanje jedinične brojevne kružnice na intervalu [math]\left[0,2\pi\right][/math], pri čemu nastaje sinusoida i kosinusoida. Koje su koordinate točke S na sinusoidi, a koje su koordinate točke K na kosinusoidi?
Na kojem intervalu funkcija sinus poprima vrijednosti?
Koliki je temeljni period funkcije sinus?
Funkcija sinus je _____________ pa je njen graf _______________ simetričan obzirom na _______________ koordinatnog sustava.
Na kojem intervalu funkcija kosinus poprima vrijednosti?
Koliki je temeljni period funkcije kosinus?
Funkcija kosinus je _____________ pa je njen graf _________________ simetričan obzirom na _______________ koordinatnog sustava.
Trigonometrijske jednadžbe
Ovdje možete upisati trigonometrijsku jednadžbu i pogledati kako izgledaju njena rješenja određena grafičkim putem na intervalu [math]\left[-3\pi,3\pi\right][/math] . Lijevu stranu trigonometrijske jednadžbe upišite u tekstualni okvir [color=#9900ff]Lijeva strana[/color], a desnu stranu jednakosti u [color=#e69138]Desna strana [/color]te kliknite na [i]Pokaži rješenja.[br][/i]Za novu jednadžbu kliknite na [i]Osvježi.[/i]
Ovdje su prikazane osnovne trigonometrijske jednadžbe oblika sin t = a, cos t = a.[br]Klikom na [color=#ff0000]Sinus[/color] ili [color=#0000ff]Kosinus[/color] prikazuju se njihova rješenja. Uoči kako ta rješenja izgledaju na brojevnoj kružnici mijenjajući vrijednosti na klizaču.