Es posible escribir un número complejo utilizando las razones trigonométricas fundamentales seno y coseno.[br]Ya sabemos que [math]\cos\left(\theta\right)=\frac{a}{\text{Hip}}[/math] y que [math]\text{sen}\left(\theta\right)=\frac{b}{\text{Hip}}[/math]. También que [math]\text{Hip}=\sqrt{a^2+b^2}[/math].[br]

¿Cómo podríamos expresar entonces [math]a+bi[/math]?[br]

1. ¿Son ciertas las siguientes igualdades?[br]a) [math]\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right)+i\text{sen}\left(\frac{5\pi}{2}\right)[/math],[br]b) [math]\cos\left(\frac{9\pi}{2}\right)+i\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right)+i\text{sen}\left(\frac{5\pi}{2}\right),[/math],[br]c) [math]3\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+3i\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right)+i\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)[/math].[br][br]2. Calcula las siguientes potencias.[br]a) [math]\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+i\text{sen}\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)^{20}[/math],[br]b) [math]\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)^4[/math],[br]c) [math]\left(1-\sqrt{3}i\right)^5[/math].[br][br]3. Utilizar la Fórmula de Moivre para deducir las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble: [br]a) [math]\text{sen}\left(2\alpha\right)=2\text{sen}\left(\alpha\right)\cos\left(\alpha\right)[/math],[br]b) [math]\cos\left(2\alpha\right)=\cos^2\left(\alpha\right)-\text{sen}^2\left(\alpha\right)[/math].[br][br]4. Utilizar la Fórmula de Moivre para deducir las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo triple. [br][br]5. Escribe en forma trigonométrica el número[br][math]z=\frac{\sqrt{\left(6+\sqrt{2}\right)}}{4}+\frac{\sqrt{\left(6-\sqrt{2}\right)}}{4}i[/math],[br]y calcular [math]z^3[/math] expresándolo en forma binómica.[br][br]