[size=150][b]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][/b][/size][size=150][size=100][br][/size][/size]これから、20世紀のつぶ波の物理を学ぶ前に[br]古典物理でありながら、つぶ波の物理にも役に立つという[br]解析力学について学んでおこう。

ニュートン力学では「力（[math]\vec{F}[/math]）」と「加速度（[math]\vec{a}[/math]）」というベクトルを中心に考えましたね。[br]でも、解析力学ではスカラー量である「エネルギー（EとかUとか）」を主役です。[br][br]ニュートン流は物と物という[b]部分と部分の位置関係[/b]から考えましたね。[br]でも、解析力学では、[b]系全体のエネルギーの配分という全体[/b]から考えます。[br][*][br][/*][*]ニュートンの解析では、部分の情報は絶対デカルト空間の中の座標（x, y, z）に縛られます。[/*][*]解析力学では、系の記述が先なので、座標系は任意です。[/*][*]だから、解析力学は、量子力学でも相対論でも問題なく使えます。[/*]

[b][color=#0000ff][size=150]自然界は効率よくできている。[br][/size][/color][/b]この思想を表すものが、[b][color=#0000ff]解析力学の「最小作用の原理」[/color][/b]です。[br][br]たとえば、物体が点Aから点Bへ移動するとき、[br]物体に意思はありませんけど、なぜ動くのか？どうしてそう動くのか？[br][br]自然界は「作用（S）」と呼ばれる量を最小（正確には極値）にするようなルートを[br]「選んで」進んでいる、と解釈するのが解析力学なのです。[br][br]これを数式化する道具が[b]ラグラジアンL[/b]というものだ。[br]運動エネルギー[b]T[/b]とポテンシャルエネルギー[b]V[/b]の差が[b]ラグランジアンL[/b]です。[br]つまり、[br][b][size=150][color=#0000ff][size=200]L = T - V[br][/size][/color][/size][/b][br]この Lを時間積分したものが作用 Sであり、自然は δS = 0 となる道筋を辿ります。[br]ここから導かれるのが、[b]ラグランジュの運動方程式[/b]です。[br][br][math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q'}\right)-\left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)=0[/math] 　[br]カンタンのために、最初のカッコ内をLQ',[br]2番目のカッコ内をLQとしよう。[br]LQ'は一般化運動量ｐとすることが多い。[br]LQはLを位置で微分しているので、力と同じ次元になる。[br]Lがラグラジアン、qは位置の一般座標、tは時刻、q’は位置の時間微分、L=T-Vで、[br][b]ニュートンの運動方程式F=ma[/b]の代わりになる。[br]ラグランジュの方程式は、[br][b][color=#0000ff]運動量ｐの時間微分＝力[br][/color][/b]という意味の式になることからも、ニュートンの運動方程式になることがわかるね。[br][color=#0000ff]（例１）[/color][br]たとえば、簡単のために位置を1次元の座標ｘにしてみる。[br]壁面に質量ｍのおもりのついたバネがついていて、つりあいの位置を０、おもりの位置をｘにする。[br]運動エネルギーT=1/2 mx'^2[br]ポテンシャルエネルギーV=1/2kx^2 ( 復元力は位置ｘのおもりがついたバネなら-kx）[br]単振動の振動数ω＝sqrt(k/m)から、k=mω^2となるので、[br]ラグラジアンL=T-V＝1/2(mx'^2- mω^2x^2)。[br]LQ’＝1/2∂/∂x'(mx'^2- mω2x^2)=＝1/2∂/∂x'(mx'^2)＝mx'[br]LQ＝1/2∂/∂x(mx'^2- mω2x^2)=＝1/2∂/∂x(- mω^2x^2)＝-mω^2x[br]ラグランジュの運動方程式は[br]d/dt(mx')-(-mω^2x)=mx''+mω^2x=0 [br]つまり、mx''=-mω^2xとなる。これはニュートンの運動方程式F=ma=-kxと同じ結果になるね。[br][color=#0000ff]（例２）[/color][br]地面からボールの投げ上げたら4秒後に地面に戻った。地面からの高さをｘとする。[br]運動エネルギーT=1/2 mx'^2[br]ポテンシャルエネルギーV=mgx[br]ラグラジアンL=T-V＝1/2(mx'^2- 2mgx)。[br]LQ’＝1/2∂/∂x'(mx'^2- 2mgx)＝1/2∂/∂x'(mx'^2)＝mx'[br]LQ＝1/2∂/∂x(mx'^2- 2mgx)＝1/2∂/∂x(- 2mgx)＝-mg[br]ラグランジュの運動方程式は[br]d/dt(mx')-(-mg)=mx''+mg=0 [br]つまり、mx''=-mgとなる。これはニュートンの運動方程式F=ma=-mgと同じ結果になるね。[br]4秒という時間を使わなくても、方程式ができた。加速度ーgで速度が変わることがわかる。[br]初速をｖ0とすると、加速がーgだから、ｖ＝v0-gt=0。[br]運動の対称性から、t＝v0/g=4/2=2。g=9.8から、v0=2*9.8=19.6m/s[br]そのときの高さx＝integral(v0-gt, 0, 19.6)= v0*t/2=19.6*2/2=19.6m。

TとVの差に着目して、自然の効率性を表す経路を探るのがラグラジアンでした。[br]それに対して、[br]TとVの和に着目して、エネルギー全体を調べるのがハミルトニアンです。[br][b]ハミルトニアンH[/b]は、[b]多くの場合[/b]、系の全エネルギーを表します。[br][b][color=#0000ff][size=200]H = T + V[br][/size][/color][/b]具体的には[br]p＝∂L/∂q'とLをq’で偏微分した一般化運動量を定めたとき、[br]H＝q' p - L とハミルトニアンHを定めたとき、次の美しい正準方程式（canonical)が成り立つ。[br][br][color=#0000ff][b][size=200]dq/dt=∂H/∂p[br]dp/dt=-∂H/∂q[br][/size][/b][/color][br]つまり、[br]qとpの時間微分がHのpとqの偏微分と等しい（p'にはマイナスがつく）。[br][br]ラグランジュLの世界では、位置と時間がカギになっていて、運動量はその過程で使われた。[br]しかし、[br]ハミルトニアンHの世界では、[b]位置と運動量が対等、対称の関係にある美しい世界[/b]なのです。[br][br][color=#0000ff]（例１）[br][/color]上の調和振動子の場合、ラグラジアンL=T-V＝1/2(mx'^2- mω^2x^2)[br]p=mx' , q=xだった。[br][b]H=[/b]q' p -L=x' mx' -1/2(mx'^2- mω^2x^2)=1/2(mx'^2+ mω^2x^2)[b]=T+V=E[br][/b]HはTとVの和になりました。[br]いつもそうなるわけではなく、ポテンシャルエネルギーVが位置qだけの関数で、[br]運動エネルギーTがq'^2の定数倍のときに限る。[br]（例２）[br]ボールの投げ上げの場合、ラグラジアンL=T-V＝1/2(mx'^2- 2mgx)[br]p=mx', q=xだった。[br][b]H=[/b]q' p -L=x' mx' -1/2(mx'^2- 2mgx)=1/2mx'^2＋mgx[b]=T+V=E[br][/b]p^2=m^2x'^2を代入すると、p^2/2m + mgx=H[br]p = ±sqrt(2m(E - mgx))[br]px空間では、xがp^2の関数になっていることがわかる。[br][br][color=#9900ff][b][u][size=150]課題：px空間で正準方程式のベクトル化をgeogebraで視覚化するにはどうしますか。[br][/size][/u][/b][/color][br]例えば、[br]スライダーで[br]mを1以上10以下の1刻みにします。[br]gを9以上10以下で0.1刻みとして、初期値9.8にします。[br]Eを20以上200以下で１刻みとします。[br]f(x)=sqrt(2m(E - m g x))[br]h(x)=- f(x)[br]px空間を視覚化するには、pをy軸とします。[br]正準方程式が[br]x'=∂H/∂p=∂/∂p(p^2/2m + mgx)=p/m[br]p'=-∂H/∂q=∂/∂x(p^2/2m + mgx)=-mg[br][br]px空間の各点での勾配ベクトルを各点に打つために[br]視点(x,y)を数列にして、ベクトル（y/m, -mg)を各点の位置に加えた終点を組にしてvectorを作ります。[br]x、yは規定の変数のために,たとえば、(i, j)というパラメータを使ってベクトル場を作りましょう。[br]L1 = Sequence(Sequence(Vector((i, j), (i + j / m * 0.1, j - m * g * 0.1)), i, 0, E / (m * g), 2), j, -sqrt(2*m*E), sqrt(2*m*E), 5)[br][br]この GeoGebra の画面を眺めると、面白いことに気づきます。[br][b]投げ上げのとき：[/b] 運動量pが正（上半分）では、ベクトルは[b]右下[/b]を向き[br][b]投げ下ろしのとき：[/b] 運動量pが負（下半分）では、ベクトルは[b]左下[/b]を向き[br]px空間全体で見ると、中心（ポテンシャルの底）を軸に「時計回りの渦」[b]が巻いているのが見えます。[/b][br]投げ上げでも投げ下しでも１つに包括するpx空間の流れの中の１つの経路として[br]１つの出来事が起きている。[br][br][b][color=#0000ff]通常なら反対のことに見えるものが１つの全体として統合できているのが、[br]pq位相空間だということがわかるね。[/color][/b]

[b][size=150]＜ポアソン括弧＞[br][/size][/b]任意の物理量 F(q, p)と G(q, p)があったとき、その「絡み具合」を計算する以下の操作をポアソン括弧と呼びます。一般化座標をｑ、一般化運動量をｐとします。[br][F,G]=∂F/∂q・∂G/∂pー∂F/∂p・∂G/∂q　これがポアソン括弧[F,G]です。[br]ポアソン括弧の性質を事例を通してさぐりましょう。[br][F,F]=∂F/∂q・∂F/∂pー∂F/∂p・∂F/∂q = 0[br][p,p]=∂p/∂q・∂p/∂pー∂p/∂p・∂p/∂q = 0*1-1*0=0[br][p,q]=∂p/∂q・∂q/∂pー∂p/∂p・∂q/∂q = 0*0-1*1=-1[br][q,p]=∂q/∂q・∂p/∂pー∂q/∂p・∂p/∂q = 1*1-0*0=1[br][G,F]=∂G/∂q・∂F/∂pー∂G/∂p・∂F/∂q = -(∂F/∂q*∂G/∂p-∂F/∂p*∂G/∂q)=-[F,G][br]以上から、２つの基本的な性質が見えます。[br][b]反対称性：[/b] 順番を入れ替えるとマイナスになる。[br][b]基本正準関係：[/b] 自分自身には０、[q,p]=1[br]ポアソン括弧を使うと、[br]正準方程式は、[br]dq/dt=1*∂H/∂p-0=∂q/∂q*∂H/∂p-∂q/∂p*∂H/∂q=[q,H]から、[b]q'=[q,H][/b][br]dp/dt=0-1*∂H/∂q=∂p/∂q*∂H/∂p-∂p/∂p*∂H/∂q=[p,H]から、[b]p'=[p,H][/b][br]という、マイナスのあるなしが隠蔽された、p、qについて対称な方程式に化けます。