Es gibt Funktionen, deren Funktionsgleichung aus mehreren Funktionsgleichungen zusammengesetzt ist. So ist es zum Beispiel möglich, zwei Funktionsgleichungen mit einander zu multiplizieren:[br][br][b]Ein Beispiel[/b]:[br]Die Funktionsgleichung [math]f(x)=(3\cdot x^2+5\cdot x-1)\cdot(4\cdot x^2+8)[/math] ist ein Produkt der Funktionsgleichungen [math]u(x)=3\cdot x^2+5\cdot x-1[/math] und [math]v(x)=4\cdot x^2+8[/math]. Man kann daher auch schreiben: [math]f(x)=u(x)\cdot v(x)[/math][br][color=#980000]Man beachte die Klammern in der Gleichung von f(x)!! [/color]

Ist die Funktion [math]f(x)=u(x)\cdot v(x)[/math] gegeben, dann lautet deren Ableitungsfunktion:[br][math]\text{\Large{$\boxed{f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}$}}[/math]

Gegeben ist die Funktion [math]f(x)=(3\cdot x^2+5\cdot x-1)\cdot(4\cdot x^2+8)[/math][br]Um die Produktregel anzuwenden, müssen zuerst alle "Bausteine" zusammengesucht werden:[br][list][*] [math]u(x)=3\cdot x^2+5\cdot x-1[/math][math]\Rightarrow u'(x)=6\cdot x+5[/math] [/*][*][math]v(x)=4\cdot x^2 + 8 \Rightarrow v'(x)=8\cdot x[/math] [/*][/list]Nun müssen diese Bausteine zusammengefügt werden:[br][math]f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)[/math] also:[br][math]\underline{f'(x)=(6\cdot x+5)\cdot(4\cdot x^2+8)+(3\cdot x^2+5\cdot x-1)\cdot(8\cdot x)}[/math][br][br]Dies ist im Grunde schon das richtige Ergebnis. Aber es wäre eine Zumutung, wenn man damit weiterrechnen müsste. Daher sollte dieses Ergebnis auf jeden Fall noch ausmultipliziert und zusammengefasst werden:[br][math]\begin{array}{ll}f'(x)&=24\,x^3 + 48\, x+20\,x^2+40+24\,x^3 + 40 \,x^2 -8\,x\\[br]&=\underline{\underline{48\,x^3+60x^2+40\,x+40}}\end{array}[/math][br]

Im folgenden Applet können Sie sich zwei Funktionen [math]u(x)[/math] und [math]v(x)[/math] ausdenken. Dann wird daraus eine Produktfunktion [math]f(x)=u(x)\cdot v(x)[/math] erstellt und Sie können damit die Funktion [math]f'(x)[/math] ausrechnen. Sie können das Ergebnis erst einmal ohne Termvereinfachung eintragen, um zu erfahren, ob Sie die Regel richtig angewendet haben. Dann sollten Sie sich aber auch an die Vereinfachung herantrauen ...