Es gibt Funktionen, deren Funktionsgleichung aus mehreren Funktionsgleichungen zusammengesetzt ist. So ist es zum Beispiel möglich, zwei Funktionsgleichungen mit einander zu multiplizieren:[br][br][b]Ein Beispiel[/b]:[br]Die Funktionsgleichung [math]f(x)=(3\cdot x^2+5\cdot x-1)\cdot(4\cdot x^2+8)[/math] ist ein Produkt der Funktionsgleichungen [math]u(x)=3\cdot x^2+5\cdot x-1[/math] und [math]v(x)=4\cdot x^2+8[/math]. Man kann daher auch schreiben: [math]f(x)=u(x)\cdot v(x)[/math][br][color=#980000]Man beachte die Klammern in der Gleichung von f(x)!! [/color]

Ist die Funktion [math]f(x)=u(x)\cdot v(x)[/math] gegeben, dann lautet deren Ableitungsfunktion:[br][math]\text{\Large{$\boxed{f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}$}}[/math]

Gegeben ist die Funktion [math]f(x)=(3\cdot x^2+5\cdot x-1)\cdot(4\cdot x^2+8)[/math][br]Um die Produktregel anzuwenden, müssen zuerst alle "Bausteine" zusammengesucht werden:[br][list][*] [math]u(x)=3\cdot x^2+5\cdot x-1[/math][math]\Rightarrow u'(x)=6\cdot x+5[/math] [/*][*][math]v(x)=4\cdot x^2 + 8 \Rightarrow v'(x)=8\cdot x[/math] [/*][/list]Nun müssen diese Bausteine zusammengefügt werden:[br][math]f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)[/math] also:[br][math]\underline{f'(x)=(6\cdot x+5)\cdot(4\cdot x^2+8)+(3\cdot x^2+5\cdot x-1)\cdot(8\cdot x)}[/math][br][br]Dies ist im Grunde schon das richtige Ergebnis. Aber es wäre eine Zumutung, wenn man damit weiterrechnen müsste. Daher sollte dieses Ergebnis auf jeden Fall noch ausmultipliziert und zusammengefasst werden:[br][math]\begin{array}{ll}f'(x)&=24\,x^3 + 48\, x+20\,x^2+40+24\,x^3 + 40 \,x^2 -8\,x\\[br]&=\underline{\underline{48\,x^3+60x^2+40\,x+40}}\end{array}[/math][br]

Im folgenden Applet können Sie die Produktregel üben. Wählen Sie eine von drei Schwierigkeitsstufen. Wenn Sie die Lösung nicht herausbekommen, oder Ihre noch einmal kontrollieren wollen, klicken Sie auf "Lösung zeigen". (Danach gibt es für diese Aufgabe aber keinen Punkt mehr)[br][br]Eigentlich ist die Produktregel noch wichtiger, wenn ein Faktor eine andere Funktion als eine ganzrationale Funktion ist, zum Beispiel [math]f(x)=(x^2-x)\cdot e^x[/math]. Denn man könnte in diesen Aufgaben auch erst die Klammern multiplizieren und dann erst ableiten, dann wäre die Produktregel obsolet. Zum Üben der Regel ist die Verwendung von ganzrationalen Funktionen aber erst einmal hinreichend.