[list][*]Du weißt, was das Pascalsche Dreieck ist.[br][/*][*]Du weißt, wofür die Binomialkoeffizienten darin verwendet werden.[br][/*][*]Du kannst die Elemente im Pascalschen Dreieck rekursiv berechnen.[br][/*][*]Du hast ein Bild von Blaise Pascal gesehen.[br][/*][/list]

Du wirst bemerken, dass die Ergebnisse auf eine bestimmte Art angeordnet sind. Das ist nicht nur, damit es hübsch aussieht und übersichtlich ist. [br]In diesem Dreieck hat jede Position eine eindeutige "Adresse" - die Zeile entspricht der Anzahl der Smarties, die die Grundmenge sind, und darin wird zunächst 0, dann 1, dann 2, ... Smarties ausgewählt.

Heb die Hand, wenn du hier angekommen bist. Schau dich um. Such dir einen Partner oder eine Partnerin, der ebenfalls gerade die Hand hebt. Wählt jeder eine Rolle aus:[list][*]eine Sechsjährige[br][/*][*]ein Elternteil[/*][*]ein Großelternteil[/*][*]ein Mensch aus dem alten Rom[/*][*]jemand, der schlecht sehen kann[/*][*]oder hast du eine eigene Idee?[br][/*][/list]Der/die andere erklärt nun den Aufbau des Pascalschen Dreiecks, während du in deiner Rolle zuhörst.

Der Binomialkoeffizient lässt sich nicht nur mit der bisher verwendeten Formel berechnen, sondern auch aus den beiden darüberliegenden Binomialkoeffizienten. [br]So ein Verfahren nennt man [b]Rekursion[/b].[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Werte für [b][color=#0000ff]n[/color][/b] und [b][color=#45818e]k[/color][/b].[br]Blende im rechten Fenster die Berechnung ein, die zeigt, wie aus zwei Binomialkoeffizienten in der oberen Zeile ein Binomialkoeffizient in der darunterliegenden Zeile entsteht.[br]Zoome bei Bedarf im linken Fenster, um die Binomialkoeffizienten für größere Werte von n zu berechnen.

Kannst du die Rekursion "mathematisch" beschreiben? Eine Formel aufstellen, die sagt, wie sich [math]\binom{n}{k}[/math] aus den "darüber liegenden" Werten ableiten lässt?[br]Hinweis: wie kannst du diese Ausgangswerte beschreiben, wenn du von n und k ausgehst?