IV Koordinatengeometrie im Raum

Teresa Martin, Jan 6, 2021

CPG Koordinatengeometrie im Raum

Table of Contents

  1. Das dreidimensionale Koordinatensystem
    1. 1 Das dreidimensionale Koordinatensystem
    2. Lösungen zu den Aufgaben
  2. Vektoren
    1. Verbesserung der Hausaufgabe
    2. Wiederholung
    3. 2 Vektoren
  3. Addition und Subtraktion von Vektoren
    1. Verbesserung der Hausaufgabe
    2. Wiederholung
    3. 3 Addition und Subtraktion von Vektoren
  4. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (S-Multiplikation)
    1. Verbesserung der Hausaufgabe
    2. 4 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl
  5. Betrag von Vektoren, Länge von Strecken
    1. 5 Betrag von Vektoren, Länge von Strecken
    2. Verbesserung der Hausaufgabe und Wiederholung
    3. Übungsstunde
  6. Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln
    1. Startschuss und Wiederholung
    2. 6 Skalarprodukt von Vektoren, Winkelberechnung
    3. Kontrollaufgaben
    4. Wiederholung II
    5. Übungsstunde Skalarprodukt von Vektoren, Winkelberechnung
  7. Das Vektorprodukt
    1. Wiederholung und Verbesserung der Hausaufgabe
    2. 7 Vektorprodukt
    3. Wiederholung und Anwesenheit
    4. Das Volumen des Spats
  8. Kreise und Kugeln im Koordinatensystem
    1. 8 Kreise und Kugeln im Koordinatensystem
    2. Verbesserung der Aufgaben

1.

Das dreidimensionale Koordinatensystem

  • 1. 1 Das dreidimensionale Koordinatensystem
  • 2. Lösungen zu den Aufgaben

1.1.

1 Das dreidimensionale Koordinatensystem

Unterschied 2D (Ebene) und 3D (Raum)
[justify]Um Standorte anzugeben brauchen Systeme die Hilfe der Mathematik. Standorte werden als [b][color=#0000ff]Koordinaten [/color][/b]angegeben. Auf einem Fußballfeld (=Ebene) kann man technisch zum Beispiel ermitteln, ob sich ein Spieler im Abseits befand oder nicht. Ganz einfach könnte man sich dies in einem [color=#0000ff][b]zweidimensionalen Koordinatensystem[/b][/color] veranschaulichen.[br][/justify]
[size=100]Auch die Filmtechnik nutzt die Mathematik, damit genau festgelegt werden kann, wohin sich z.B. Kameras bewegen sollen. Im Video siehst du die Spidercam der Allianz-Arena. Sie bewegt sich über den Spielern und filmt das Feld. Im Gegensatz zu den Spielern im Feld, die sich nur auf einer [color=#0000ff][b]Ebene[/b][/color] bewegen, reicht unser bekanntes Koordinatensystem nicht aus, um die Bewegung der Spidercam darzustellen.[/size]
Warum?
Hefteintrag: Das dreidimensionale Koordinatensystem (abschreiben!) und Erklärungen im Video
[justify][size=85][/size][/justify][size=100][justify][size=85][/size][/justify][/size]Unser bisher verwendetes Koordinatensystem besteht aus zwei zueinander senkrechten Achsen. Es ermöglicht die Angabe von Punkten im[b][color=#0000ff] zweidimensionales Raum[/color][/b], also in einer[color=#0000ff][b] Ebene[/b][/color]. Diese Punkte werden durch [color=#0000ff][b]Zahlenpaare P(x|y)[/b][/color] angegeben. Im Dreidimensionalen reicht uns dieses Koordinatensystem nicht mehr und wir müssen es erweitern.[br][br]Verwende im folgenden Applet die Schieberegler, um dir das dreidimensionale Koordinatensystem zu veranschaulichen.[size=100][justify][size=85][/size][/justify][/size]
Koordinaten besonderer Punkte im Koordinatensystem
Setze jeweils[color=#0000ff][b] zwei der Koordinaten Null[/b][/color], z.B. P (3|0|0). Welche [color=#0000ff][b]besondere Lage[/b][/color] haben diese Punkte im Koordinatensystem? Formuliere einen Satz.
Setze jetzt jeweils nur [color=#0000ff][b]eine der Koordinaten gleich Null[/b][/color]. Welche [color=#0000ff][b]besondere Lage[/b][/color] haben diese Punkte im Koordinatensystem? Formuliere einen Satz.
[size=85][size=100]Nutze dieses Wissen auch zur [color=#0000ff][b]mündlichen Bearbeitung[/b][/color] folgender [b][color=#0000ff]Aufgabe[/color][/b]. [br][/size][/size][br][i][color=#274e13]Buch S. 91[/color][/i]
[size=100][justify]Jetzt, da wir uns schon besser im dreidimensionalen Koordinatensystem auskennen, wollen wir unser Wissen anwenden. Löse dazu die folgende[color=#0000ff][b] Aufgabe in deinem Heft[/b][/color]. Das Applet darunter kann dir bei der Lösung helfen.[br][br][color=#274e13][i]Buch S. 91[/i][/color][/justify][/size]
[size=85][justify][size=100]Hier kannst du die Punkte zur [color=#0000ff][b]Veranschaulichung[/b][/color] an den Ebenen spiegeln. Das Werkzeug zum Spiegeln an einer Ebene findest du hier: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratplane.png[/icon]. Klicke dann zuerst auf den zu spiegelnden Punkt und dann auf die Spiegelebene.[/size][/justify][/size]
[size=100]5a) Kreuze an, welche Koordinaten bei der Spiegelung an der [math]x_1x_2[/math]-Ebene (xy-Ebene) gleich bleiben.[/size]
5b) Kreuze an, welche Koordinaten bei der Spiegelung an der [math]x_2x_3[/math]-Ebene (yz-Ebene) gleich bleiben.[br]
5c) Kreuze an, welche Koordinaten bei der Spiegelung an der [math]x_1x_3[/math]-Ebene (xz-Ebene) gleich bleiben.
5d) Kreuze an, welche Koordinaten bei der Spiegelung am Ursprung gleich bleiben.
Zusatzfrage
Kreuze an, welche Koordinaten bei der Spiegelung an der [math]x_2[/math]-Achse gleich bleiben.
[justify]In einer letzten [color=#0000ff][b]Übung[/b][/color] solltest du auch das Zeichnen von Körpern und das Bestimmen deren Koordinaten im dreidimensionalen Koordinatensystem einüben. [b][br][/b][b][br][/b][color=#274e13][i]Buch S. 92[/i][/color][/justify]
Tipp: Die Reihenfolge der Punkte ist durch die Bezeichnung ABCDEFGH des Würfels vorgegeben.
Hausaufgaben: Bearbeite das beigefügte Arbeitsblatt vollständig. Die Lösung wird zur nächsten Stunde veröffentlicht.
[color=#38761d][b]Weitere freiwillige Übungen:[br][/b][/color][justify][color=#38761d][b][br][/b][/color]Um den Stoff weiter zu vertiefen empfehle ich dir noch einige Aufgaben auf MatheGym. Außerdem findest du hier eine Anleitung, wie du dir dein eigenes kleines dreidimensionales Koordinatensystem basteln kannst. Das kann dir vor allem helfen, wenn dir das räumliche Denken noch etwas schwer fällt.[/justify]
MatheGym
Koordinatensystem basteln: Anleitung
Koordinatensystem basteln: Bastelbogen
– Dr. Marie-Luise Herrmann, Teresa Martin

1.2.

–

2.

Vektoren

  • 1. Verbesserung der Hausaufgabe
  • 2. Wiederholung
  • 3. 2 Vektoren

2.1.

Verbesserung der Hausaufgabe

03 AB Koordinatensystem Lösung
Hier findest du die Lösung zum Arbeitsblatt der letzten Stunde.
Einschätzung
Schätze dich hier kurz selbst ein. Wie leicht bzw. schwer ist dir die Hausaufgabe gefallen? Ein paar kurze Stichpunkte genügen.
– Teresa Martin

2.2.

–

2.3.

–

3.

Addition und Subtraktion von Vektoren

  • 1. Verbesserung der Hausaufgabe
  • 2. Wiederholung
  • 3. 3 Addition und Subtraktion von Vektoren

3.1.

Verbesserung der Hausaufgabe

Buch S. 95/3,6 (10 für Profis)
Verständnisfragen
1. Beschreibe kurz in eigenen Worten, wie man mit Hilfe von Vektoren zeigt, dass Seiten einer Figur [br] parallel sind und gleich lang sind.
2. Wie lautet die Dreiecksungleichung?
– Teresa Martin

3.2.

–

3.3.

–

4.

Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (S-Multiplikation)

  • 1. Verbesserung der Hausaufgabe
  • 2. 4 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

4.1.

Verbesserung der Hausaufgabe

Lösungen Hausaufgaben vom 18
Einstiegsfrage
Ich habe erkannt, dass der Punkt A im letzten Hefteintrag falsch eingezeichnet war und dies ausgebessert.
Wiederholung
Beschreibe kurz, wie man zwei Vektoren graphisch addiert.
– Teresa Martin, Claudia Lang

4.2.

–

5.

Betrag von Vektoren, Länge von Strecken

  • 1. 5 Betrag von Vektoren, Länge von Strecken
  • 2. Verbesserung der Hausaufgabe und Wiederholung
  • 3. Übungsstunde

5.1.

5 Betrag von Vektoren, Länge von Strecken

Super Mario am Limit
Das Spielfeld befindet sich auf der xy-Ebene (grün). Mario hat noch ein Leben übrig und kann nichts riskieren. Er kann 8 Längeneinheiten weit springen (egal welche Richtung). Schafft er es auf die Spitze des Turms?
[b][color=#1155cc]BASISAUFGABEN[/color][/b][br][br]Hier üben wir absolute basic skills. Berechne dazu nur Betrag und Einheitsvektor des Vektors [math]\vec{x}[/math]. Du findest hier auch die Lösung zu den anderen Teilaufgaben, wenn dir diese Rechnung noch Probleme bereitet.[br][br][color=#38761d]Buch S. 105[/color]
Lösung zu Vektor x
Lösungssalat zu Aufgabe 3
Eine weitere typische Aufgabe findest du hier. [br][br][color=#38761d]Buch S. 105[/color]
Lösung zu 4a)
[b][color=#1155cc]FORTGESCHRITTENENAUFGABEN[br][/color][br][br][/b]Wir steigern das Niveau mit der nächsten Aufgabe. Lass dich nicht vom Parameter k beunruhigen. Du verfährst mathematisch genauso wie oben.[br][br][br][color=#38761d]Buch S. 105[/color]
Die Lösung dieser Aufgabe besprechen wir [color=#1155cc][b]in der Konferenz[/b][/color].
Bei Parametern ist es also wichtig, erst einmal [color=#1155cc][b]Gleichungen bzw. Terme aufzustellen[/b][/color] genauso, wie wenn du nur Zahlen gegeben hättest. [br]Nutze dieses Wissen auch bei der nächsten Aufgabe.[br][br][b][color=#1155cc]Tipp:[/color][/b] Du musst mir nur nach [color=#1155cc][b]möglichen Lösungen[/b][/color] suchen. Genau bestimmen kannst du sie nicht.[br][br][color=#38761d]Buch S. 105[/color]
Lösung zu 10
[color=#1155cc][b]HAUSAUFGABE: [/b]Buch S. 105/4 c),d); 5; 8[br][/color][br][b]Tipp: [/b]Vergleiche Aufgaben 4 und 5 mit den heute behandelten Aufgaben. Sie sind sehr ähnlich. Bedenke für Aufgabe 8, dass auch die [b][color=#1155cc]Umkehrung der Satz des Pythagoras[/color][/b] gilt. (Im Notfall googeln :-P).
[color=#38761d][b]Freiwillige Übungen:[/b][/color]
MatheGym
– Teresa Martin

5.2.

–

5.3.

–

6.

Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln

  • 1. Startschuss und Wiederholung
  • 2. 6 Skalarprodukt von Vektoren, Winkelberechnung
  • 3. Kontrollaufgaben
  • 4. Wiederholung II
  • 5. Übungsstunde Skalarprodukt von Vektoren, Winkelberechnung

6.1.

Startschuss und Wiederholung

Startschuss
Ich bin...
Koordinatensystem
Gib die Punkte an, die auf der Geraden liegen, die parallel zur z-Achse durch den Punkt P(2|0|0) verläuft.
Pyramide
Eine senkrechte Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und der Spitze S(2|1|2) hat die Höhe 3cm. Die Strecke [AB] ist 2cm lang. Kreuze die richtigen Aussagen an.
Parallelogramm
Der Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms ABCD heißt M.[br]A(2|1|0), B(0|4|1) und C(-2|4|3) sind bekannt. Kreuze die richtigen Aussagen an.
Gib die Koordinaten der Punkte M und D an.
– Teresa Martin, Claudia Lang

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

7.

Das Vektorprodukt

  • 1. Wiederholung und Verbesserung der Hausaufgabe
  • 2. 7 Vektorprodukt
  • 3. Wiederholung und Anwesenheit
  • 4. Das Volumen des Spats

7.1.

Wiederholung und Verbesserung der Hausaufgabe

Anwesenheitskontrolle
Wer hat den Superbowl gewonnen?
[b][color=#38761d][size=150][size=200]Wiederholung[/size][/size][/color][/b]
Wiederholungsfragen
1. Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert ...
2. Das Skalarprodukt ist Null, wenn...
3. Gegeben sind die Vektoren [math]\vec{a}=\binom{3}{2}[/math] und [math]\vec{b}=\binom{1}{4}[/math]. Gib das Skalarprodukt an.
4. Um welches Viereck ABCD [b]muss[/b] es sich handeln, wenn folgendes gilt:[br][br][math]\vec{AB}=-\vec{CD}[/math] und [math]\vec{AC}\circ\vec{BD}=0[/math]
[b][color=#38761d][size=150][size=200]Verbesserung der Hausaufgabe[/size][/size][/color][/b]
Lösung: Aufgabe 19
Auch Gegenvektoren sind hier möglich, also [math]\vec{s_2}=(0;4,5;-3,5)[/math] und [math]\vec{v_2}=(-7,25;4,5;3,5)[/math].[br][br][b][color=#38761d]Hinweis[/color][/b]: Das Dach wurde so in das Koordinatensystem gelegt, dass ein Viertel des Daches dargestellt wird. (Siehe GeoGebra-Applet)
Selbsteinschätzung
Diese Aufgabe...
Lösung: Arbeitsblatt
Selbsteinschätzung
Diese Aufgabe...
– Teresa Martin

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

8.

Kreise und Kugeln im Koordinatensystem

  • 1. 8 Kreise und Kugeln im Koordinatensystem
  • 2. Verbesserung der Aufgaben

8.1.

8 Kreise und Kugeln im Koordinatensystem

Super Mario trifft auf Kettenhund
Bowsers Kettenhund ist am Punkt (4|3) angekettet. Mit Kette und Kopf misst der Gegner im Spiel 2cm. Beschreibe in welchem Bereich es für Mario gefährlich wird.
Bowser kann aber auch 3D. Wie verändert sich der Gefahrenbereich im 3D-Spiel?
Hefteintrag
Hier findest du die im Hefteintrag verwendeten [color=#38761d][b]Skizzen[/b][/color]. Es steht dir frei, sie auszudrucken und einzukleben oder sie nur abzuzeichnen.
Skizzen für Hefteintrag
Das üben wir gleich mal mit den folgenden [color=#1155cc][b]Basisaufgaben[/b][/color].[br][br][color=#38761d]Buch S. 116[/color]
Wir steigern das Niveau. Wie so oft hilft dir auch hier das Aufstellen einer [color=#1155cc][b]Gleichung[/b][/color] weiter. Bestimme c zunächst nur so, dass [color=#1155cc][b]P auf der Kugel[/b][/color] liegt.[br][br][br][color=#38761d]Buch S. 116[/color]
Manchmal muss man auch gar nicht die ganze Kreis- bzw. Kugelgleichung aufstellen, z.B. bei den folgenden Aufgaben.[br][br][color=#38761d]Buch S. 116/117[/color]
Du kannst Kreis- und Kugelgleichungen mit verschiedensten Angaben aufstellen. Hier hast du zum Beispiel die Endpunkte des [color=#1155cc][b]Durchmessers [/b][/color]gegeben.[br][br][color=#38761d][b]Tipp: [/b][/color]Nutze die Länge des Durchmessers um den Radius finden. Mithilfe des Vektors findest auch den Mittelpunkt.[br][br][color=#38761d]Buch S. 116[/color]
Rechne zuerst bei Aufgabe 12 [color=#1155cc]Teilaufgabe a) [/color]und vergleiche sie mit der Lösung. Ist sie falsch, bearbeite auch noch Aufgabe b).[br][br][color=#38761d]Buch S. 117[/color]
Anstatt des Durchmessers oder Mittelpunkts können auch [color=#1155cc][b]Berührpunkte[/b][/color] gegeben sein. Eine [color=#1155cc][b]Skizze[/b][/color] kann dir hier weiterhelfen.[br][br][color=#38761d]Buch S. 117[/color]
Im Dreidimensionalen wird das schon schwieriger. Das Applet unter der Aufgabe kann dir helfen.[br][br][color=#38761d][b]Tipp[/b][/color]: Überlege, welchen Abstand der Mittelpunkt von den beiden Ebenen haben muss, die die Kugel berührt. Was bedeutet das für die Koordinaten des Mittelpunktes?[br][br][br][color=#38761d]Buch S. 117[/color]
Kugeln können auch in Körper eingeschrieben werden. Auch hier ist oft eine Skizze notwendig um die Aufgabenstellung genau zu verstehen. Das GeoGebra-Applet hilft dir dabei.[br][br]einbeschriebener Kreis: [color=#cc4125][b]rot[/b][/color][br][br]umschriebener Kreis: [b][color=#6d9eeb]hellblau[/color][/b][br][br][b][color=#38761d]Tipp[/color][/b]: Für den umschriebenen Kreis musst du noch eine Seite berechnen.[br][br][color=#38761d]Buch S. 117[/color]
[color=#38761d][b]freiwillige Übung:[/b][/color][br][br][color=#1155cc][b]Profiaufgabe Oktaeder[/b][/color][br][br]Diese Aufgabe ist mit etwas Überlegung sehr gut lösbar. Schwierig ist sie nur, weil du hier mehrere mathematische Kenntnisse miteinander verbinden musst.[br]Schicke sie mir gerne zur Korrektur.[br][br][br][color=#38761d]Buch S. 117[/color]
Mathegym
– Teresa Martin

8.2.

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