Se tienen n puntos en una circunferencia y se traza la cuerda que une cada par de puntos. Los puntos se stúan de manera que no concurran tres cuerdas en un mismo punto interior a la circunferencia.

Hay varias formas de verlo. Quizás la más rápida sea pensar en que ocurre[br]cuando vamos retirando cada una de las cuerdas. Si en ella había k puntos de[br]intersección, que la dividian en k + 1 segmentos, desaparecen k + 1[br]regiones. Al quitar otra, desapareceran k’ + 1 regiones, donde k’ es el[br]número de puntos que había en esa cuerda, después de retirar las anteriores.[br]En definitiva, al retirar todas las cuerdas, han desaparecido tantas[br]regiones como puntos de intersección y cuerdas había, y aún nos queda una,[br]el círculo completo. Luego si el número de cuerdas es c(n) y el de puntos de[br]intersección es p(n), el número de regiones para n puntos es:[br]r(n) = p(n) + c(n) + 1[br]El número de cuerdads es fácil de calcular: cada par de puntos produce una[br]cuerda. Por tanto, son Comb(n, 2).[br]En cuanto al de los puntos de intersección, por cada cuatro puntos en la[br]circunferencia hay uno, pues los cuatro puntos forman un cuadrilátero[br]convexo, y los segmentos que los unen son sus cuatro lados y las dos[br]diagonales, que se cortan en un punto en su interior. Por tando p(n) =[br]Comb(n, 4).[br]El número de regiones es[br]r(n) = 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, …[br]empezando por n = 0 (0 puntos, una región, todo el círculo). Es curioso que[br]desde n = 1 hasta 5 se corresponde con 2^(n-1). La «ley débil de los números[br]pequeños» nos hace pensar que r(6) debe ser 32, y resulta que no, que falta[br]una … Para mayor abundamiento, resulta que r(10) = 2^8 …