Die [color=#980000][b]elliptischen Ebene[/b][/color] kann man [b]3D[/b] mit Hilfe einer Kugel darstellen. Man wähle einen Punkt im Inneren als "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]". Im Applet kann man die elliptische Geometrie auf zwei Arten betrachten:[br][br][list][*]Auf der Kugel stellen die bezüglich der "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]" diametralen [color=#00ff00][i][b]Punktepaare[/b][/i][/color] die [color=#00ff00][b]PUNKTE[/b][/color] dar. [color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] sind die Kreise, deren Ebenen durch die "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]" gehen. Zwei solche Kreise schneiden sich in diametralen Punkten, also schneiden sich 2 [color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] stets in einem [color=#00ff00][b]PUNKT[/b][/color]. Durch 2 [color=#00ff00][b]PUNKTE[/b][/color] geht genau eine [color=#0000ff][b]GERADE[/b][/color]. Parallelen gibt es nicht! Zwei [color=#00ff00][b]PUNKTE[/b][/color] besitzen 2 [color=#ff00ff][b]MITTEN[/b][/color]![/*][br][*]Von der "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]" aus werden die [color=#00ff00][b]PUNKTE[/b][/color] und [color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] auf die bezüglich der Kugel polare [color=#f1c232][b]Ebene E[/b][/color] projiziert. [br]Dort sind die Punkte tatsächlich die [color=#00ff00][b]PUNKTE[/b][/color], und die Geraden tatsächlich die [color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] der [color=#980000][b]elliptischen Ebene[/b][/color], die [b]3D[/b] projektiv ergänzt gesehen werden muss. [br][br][/*][/list]Je näher die "[i][color=#ffff00][b]Mitte[/b][/color][/i]" zur Kugeloberfläche liegt ([math]\tau\rightarrow1[/math]), umso näher liegt die [color=#f1c232][b]Ebene E[/b][/color]. Ist andererseits die "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]" die [b]3D[/b]-Kugelmitte ([math]\tau=0[/math]), so ist die [color=#f1c232][b]Ebene E[/b][/color] unendlich fern![br][br][i][b][color=#980000][size=100][size=150]Aussagen über elliptische Dreiecke:[/size][/size][/color][/b][/i][br][br][list][*]Die [color=#6aa84f][i][b]HÖHEN[/b][/i][/color] schneiden sich in einem [color=#6aa84f][b]PUNKT H[/b][/color][/*][*]Die [color=#00ffff][i][b]SEITENMITTEN[/b][/i][/color] schneiden sich in einem [color=#00ffff][b]PUNKT S[/b][/color][/*][*]Die [color=#ff0000][i][b]MITTELSENKRECHTEN[/b][/i][/color] schneiden sich in [color=#ff0000][color=#000000]einem[/color] [b]PUNKT M[/b][/color][/*][*]Die [color=#999999][i][b]WINKELHALBIERENDEN[/b][/i][/color] schneiden sich in einem [color=#b6b6b6][b]PUNKT W[/b][/color][/*][/list][br]Die Punkte [color=#6aa84f][b]H[/b][/color], [color=#00ffff][b]S[/b][/color], [color=#ff0000][b]M[/b][/color] liegen [i][b]n i c h t[/b][/i] auf einer [color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] (in der Regel)! [br]Die [b]EULER[/b]-Gerade gibt es elliptisch nicht![br][color=#980000][size=50][right]Diese Seite ist eine Aktivität des [b]geogebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6]kugel-dreiecke[/url] (August 2018)[/right][/size][/color][br]Im Applet unten ist die "[color=#ffff00][i][b]Mitte[/b][/i][/color]" die [b]3D[/b]-Kugelmitte. Die polare Ebene ist unendlich fern, also nicht zu sehen.[br]Dafür sind die Konstruktionen einfacher. Im Prinzip gibt es zu jeder Dreiecks-Ecke 2 SEITENHALBIERENDE, wir haben uns mit je einer begnügt!