Com dissenyar una copa menstrual?
Aquest llibre de GeoGebra ha estat creat conjuntament amb [b]Imma Garcia, Lourdes Vidal, Bea Domingo i Enric Castellà[/b] com a part de la Situació d'Aprenentatge per Batxillerat entregada a la formació respectiva.
Table of Contents
- Superfícies de revolució
- Situació d'aprenentage
- Residus a l'institut
- Àrees i Volums d'una Copa Menstrual
- Rotem un segment
- Rotem una funció
- Construïm la superfície de revolució
- Àrea d'una superfície de revolució
- Volum de Cossos de revolució
- Volum d'un cos de revolució: Con, Cilindre, Esfera i Tor
- Volum d'un cos de revolució: funció genèrica
- Com hem dissenyat la copa?
Situació d'aprenentage
Programació de la situació d'aprenentatge
PresentacioComVolsLaCopa
Volum d'un cos de revolució: Con, Cilindre, Esfera i Tor
Ara volem calcular el volum del cos de revolució generat per una funció al pla girant-la al voltant de l'eix de les X's.[br]Si la funció ve definida per [math]y=f\left(x\right)[/math], només ens cal calcular la següent integral entre els dos valors de [math]x\epsilon\left[a,b\right][/math]que volem calcular el volum[br][center][br][math]V=\int^b_a\pi\left[f\left(x\right)\right]^2dx[/math][/center]
Volum d'un con
[br][left]Per exemple, si agafem la funció [math]y=x[/math], la representem i la fem girar al voltant de l'eix de les X's entre els punts 0 i 2, això ens crearà un con d'alçada 2 i radi 2, per tant, en podem calcular el volum de forma tradicional utilitzant la fórmula del volum del con[br] [math]V=\frac{2\pi rh}{3}=\frac{2\pi\cdot2\cdot2}{3}=\frac{8\pi}{3}[/math] [br]prenent el radi i l'alçada com a valor 2.[br][/left]
Si, en canvi, ho calculem utilitzant la fórmula, obtenim el mateix?[br][math]V=\int^2_0\pi\left[x\right]^2dx=\pi\int_0^2x^2dx=\pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\pi\left(\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3}\right)=\frac{8\pi}{3}[/math]
Si ara volem calcular aquest volum al GeoGebra només ens cal fer servir la comanda[br][b]Integral(funció, x inicial, x final)[br][/b]En el nostre cas tenim que la funció és [math]f\left(x\right)=x[/math] i per tant ens cal integrar la funció [math]\pi\cdot\left[f\left(x\right)\right]^2=\pi\cdot x^2^{ }[/math], per tant, en el GeoGebra posarem la següent comanda:[br][br]Integral([math]\pi\cdot x^2,0,2[/math])[math]\approx8,38[/math][br][br]que és l'aproximació de [math]\frac{8\pi}{3}[/math] a dues xifres decimals. Si vols aquests valors amb més exactitud, pots canviar a la configuració del GeoGebra que et mostri més decimals. Per fer-ho, cal que cliqueu a la icona de dalt a la dreta que són tres línies per desplegar el menú on clicareu a Configuració. En aquí podeu configurar l'idioma, el número de decimals que voleu utilitzar i altres opcions. [br]A part, podeu calcular el valor de [math]\frac{8\pi}{3}[/math] directament al GeoGebra per saber el valor aproximat:
Volum d'un cilindre
[br]Si volem calcular el volum d'un cilindre d'alçada 4 i radi 1, utilitzarem la fórmula del cilindre[br][math]V=\pi\cdot r^2\cdot h=\pi\cdot1^2\cdot4=4\cdot\pi\approx12,57[/math][br]prenent [math]r=1[/math] i [math]h=4[/math][br][br]Però també es pot pensar el con com un segment paral·lel a l'eix de les X's entre 0 i 4 i revolucionat. Cal que el segment estigui allunyat una unitat de l'eix de les X's per obtenir que el radi de la revolució sigui 1.[br]Si calculem la integral pel càlcul del volum, ho faríem així:[br][math]V=\int^4_0\pi\cdot\left[f\left(x\right)\right]^2dx=\int_0^4\pi\cdot1dx=\pi\cdot\left[x\right]_0^4=4\pi\approx12,57[/math][br]Però si ho fem calcular al GeoGebra només ens cal definir la funció f(x)=1 en aquest cas i calcular la comanda[br][math]Integral\left(\pi\cdot f^2,0,4\right)\approx12,57[/math][br]I lògicament, ens donarà el mateix resultat.
Volum d'una esfera
[br]Per calcular el volum d'una esfera de radi 3, només ens cal aplicar la fórmula del càlcul del volum senzilla següent:[br][math]V=\frac{4}{3}\pi\cdot r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi\approx113,10[/math][br][br]En canvi si pensem l'esfera com un cos de revolució, a partir de revolucionar mitja circumferència al voltant de l'eix de les X's, hauríem de definir la funció[br][math]x^2+y^2=3^2\mapsto y^2=9-x^2\mapsto y=\pm\sqrt{9-x^2}[/math][br]El signe positiu i negatiu indiquen la part de la circumferència que està per sobre de l'eix de les X's o per sota. N'hem d'escollir una de les dues, perquè la circumferència no és una funció, són dues. Per tant agafem la següent funció i la revolucionem:[br][math]y=\sqrt{9-x^2}[/math][br][br]Calcularem el volum utilitzant la fórmula i el GeoGebra. Amb la fórmula:[br][math]V=\int_{-3}^3\pi\left(\sqrt{9-x^2}\right)^2dx=\pi\int_{-3}^3\left(9-x^2\right)dx=\pi\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]_{-3}^3=\pi\left(9\cdot3-\frac{3^3}{3}-9\cdot\left(-3\right)+\frac{\left(-3\right)^3}{3}\right)=[/math][br][br][math]=\pi\left(54-2\frac{3^3}{3}\right)=2\pi\left(3^3-\frac{3^3}{3}\right)=2\pi\frac{2}{3}3^3=\frac{4}{3}\pi3^3\approx113,10[/math][br][br]Finalment, ho calcularem amb GeoGebra només amb la comanda[br][math]Integral\left(\pi\cdot\left[\sqrt{9-x^2}\right]^2,-3,3\right)\approx113,10[/math][br]I ens donarà el mateix resultat.[br]
Volum d'un Tor
[br]Ara calcularem el volum d'un cos de revolució directament amb el GeoGebra i veurem que el GeoGebra ens facilita molt la tasca.[br]Si definim un tor com un cos de revolució de la circumferència, la qual ha d'estar per sobre l'eix de les X's, en podem calcular el volum de la següent manera. Ens cal definir les dues funcions que representen la circumferència, si considerem la circumferència de centre (4,4) i radi 2, a partir de [br][math]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2[/math][br]considerant el punt (a,b) el centre de la circumferència i r com el radi, podem aïllar la y per obtenir la funció corresponent, de la qual haurem de considerar les dues branques:[br][math]y=4+\sqrt{4-\left(x-4\right)^2,}y=4-\sqrt{4-\left(x-4\right)^2}[/math][br]Per calcular-ne el volum, només ens caldrà restar els dos volums sorgits a partir de les funcions, és a dir:[br][math]V_1=Integral\left(\pi\left(4+\sqrt{4-\left(x-4\right)^2}\right)^2,2,6\right),V_2=Integral\left(\pi\left(4-\sqrt{4-\left(x-4\right)^2}\right)^2,2,6\right)[/math][br]Volum del tor és[br][math]V=V_1-V_2=392,49-76,66=315,83[/math][br][br]
