[br]Tavaroiden pakkaamiseen, varastoimiseen ja lähettämiseen paikasta toiseen käytetään hyvin usein aaltopahvia. Miksi? Miksei käytetä vain suoraa pahvia? Tuoko tämä aaltoilu pahviin jotakin lisäarvoa? Tuohan se. Aaltopahvi kestää paljon enemmän taivutusta kuin suora pahvi. Tietynpaksuinen aaltopahvi kestää taivutusta miltei yhtä paljon kuin samanpaksuinen "umpipahvi", mutta sitä on toki halvempi tuottaa, koska siinä on "tyhjää" mukana rakenteessa. Usein kerrosrakenteessa on tyhjää itse asiassa enemmän kuin pahvia.[br][br]Tämän tehtävän "kanvikuvassa" oli näytillä useammasta kerroksesta koostuva aaltopahvi. Tarkastellaan nyt kuitenkin yksinkertaisinta aaltopahvia: siinä on yksi aaltoileva kerros, ja sen molemmin puolin suorat kerrokset. Katso kuvaa alla.

Kuvassa näemme siis sekä miltä tarkastelemamme pahvi näyttää, mutta näemme kuvassa myös pahvista otetut mitat. Tämä pahvi on toki nyt jo reaalimaailmassa olemassa, mutta jossakin vaiheessa pahvipakkauksia tuottava firma on laskenut, minkälaista pahvia on järkevintä tuottaa. Järkevin rakenne on sellainen, joka on sekä vahva, että halpa. Mukaillaan tämän suunnitteluprosessin vaiheita, ja lasketaan, mikä määrä suoraa pahvia tarvitaan, jotta voidaan tuottaa yksi neliömetri kuvassa näkyvää aaltpahvia.[br]

RATKAISU:[br][br]Ylimmän ja alimman kerroksen pinta-alan laskeminen ei paljoa älynystyröitä vaivaa, ne ovat yhden neliömetrin kumpainenkin. Mutta keskimmäisen, aaltoilevan kerroksen pinta-alan laskeminen vaatii hieman miettimistä. Lähdetään liikkeelle siitä, että poimitaan kuvasta (yllä) tarvittavat mitat, ja kirjoitetaan aaltoilevan profiilin muoto trigonometrisenä lausekkeena. Aallon lauseke voidaan kirjoittaa, jos vain tunnetaan aallonpituus, ja aallon "amplitudi", siis aallon korkeus. Aalloista puhuttaessa tämä amplitudi ei tarkoita aallon korkeutta aallonpohjalta aallonhuippuun, vaan tämän mitan puolikasta. Amplitudi on siis maksimipoikkeama, ylös tai alas, keskitasolta. Yllä olevasta kuvasta näemme, että aallon kokonaiskorkeus on 4 millimetriä, näin ollen amplitudi on 2 millimetriä. Vastaavasti voimme poimia kuvasta aallonpituuden. Kaksi aaltoa näyttää mahtuvan melko tarkalleen 19 millimetriin, ja näin ollen yhden aallon pituus on 9.5 millimetriä. Aalto voidaan nyt kirjoittaa[br][br] [math]\Large[br]y = A \sin ( \frac{2 \pi}{\lambda} x ) = 2 \sin ( \frac{2 \pi}{9.5} x )[br][/math] [br][br]

Seuraavana meidän täytyy laskea tämän käyrän pituus välillä 0-1000, niin saamme aaltoilevan profiilin pituden metrin matkalla. Kun tämä saatu luku sitten kerrotaan yhdellä metrillä, saadaan aaltoilevan kerroksen pinta-ala.[br][br]Käyrän pituus voidaan laskea integraalilla, kaavalla[br][br][math]\Large[br]L = \int_a^b \sqrt{ 1 + [ f'(x) ]^2 } dx[br][/math][br][br]Kaavassa näyttää olevan muodostamamme funktion derivaatta, joten lasketaan se ensin.[br][br][math]\Large[br]f'(x) = 2 \cos ( \frac{2 \pi}{9.5} x ) \cdot (\frac{2\pi}{9.5})[br][/math][br][math]\Large[br] = \frac{4\pi}{9.5} \cos ( \frac{2 \pi}{9.5} x ) [br][/math][br][br]Nyt voidaan laskea käyrän pituus.[br][br][math]\Large[br]L = \int_0^{1000} \sqrt{ 1 + \Huge[\Large \frac{4\pi}{9.5} \cos ( \frac{2 \pi}{9.5} x ) \Huge]\Large^2 } dx[br][/math][br][br]Tälläistä hirvitystä ei kannata näinä päivänä ruveta käsin integroimaan, vaan se voidaan heittää vaikkapa Wolfram Alphan integroitavaksi.

Tämän käyrän pituudeksi saatiin siis 1349.53 millimetriä, eli 1.34953 metriä. Kun tiedämme, että kyseessä on metrin mittainen matka, ja pahvi tällä matkalla jossakin määrin aaltoilee, odotimmekin näkevämme luvun, joka on hieman yli metrin. Nyt voimme helposti laskea tämän aaltoilevan pahvikerroksen pinta-alan: se on [math]\Large 1.34953 \approx 1.35 [/math] neliömetriä. Kun tähän lisätään alimmainen ja päällimmäinen pahvikerros, voidaan todeta, että kun valmistetaan neliömetri tarkasteltavan kaltaista aaltopahvia, siihen vaaditaan 3.35 neliömetriä suoraa pahvia.