On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction [math]f[/math] définie sur [math]\mathbb{R}[/math] par [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math] où [math]a,b[/math]et [math]c[/math] sont trois réels, [math]a\ne0[/math][br]La courbe représentation d'une telle fonction est appelée parabole. L'équation de cette parabole est alors [math]y=ax^2+bx+c[/math]
Objectif
On se propose de faire le lien entre la parabole d'équation [math]y=ax^2+bx+c[/math] et les valeurs des réels [math]a[/math], [math]b[/math] et [math]c[/math].
Préambule : Etude de paraboles
I. Ordonnée à l'origine
Sur le graphique du préambule, faites varier [math]c[/math].
Que remarque-t-on sur la parabole quand [math]c[/math] varie ?
La parabole passe toujours par le point de coordonnée [math]\left(0;c\right)[/math]
Exemples
Au vu de son intersection avec l'axe des ordonnées, l'équation de P[sub]1[/sub] peut-être :
Au vu de son intersection avec l'axe des ordonnées, l'équation de P[sub]2[/sub] peut-être :
II Coefficient dominant
Le coefficient dominant d'un polynôme est le coefficient du terme de plus haut degré. Ici c'est [math]a[/math].[br]Sur le graphique du préambule, faites varier [math]a[/math].
Que remarque-t-on sur la parabole quand [math]a[/math] varie ?
On remarque que quand [math]a[/math] est positif, la fonction admet un minimum, la parabole est tournée vers le haut.[br]On remarque que quand [math]a[/math] est négatif, la fonction admet un maximum, la parabole est tournée vers le bas.
Au vu de son intersection avec l'axe des ordonnées et de son orientation, l'équation de P[sub]1[/sub] peut-être :
Au vu de son intersection avec l'axe des ordonnées et de son orientation, l'équation de P[sub]2[/sub] peut-être :
III. Sommet de la parabole
On se propose d'étudier le sommet de la parabole d'équation [math]y=ax^2+bx+c[/math].
Cas particulier
En gardant [math]a=1[/math], faites varier [math]b[/math] sur le graphique suivant :
Quel lien peut-on faire entre l'abscisse du sommet de la parabole et [math]b[/math] ?
L'abscisse du sommet de la parabole vaut [math]\frac{-b}{2}[/math]-
Cas général
Faites varier [math]a,b[/math] et [math]c[/math] sur le graphique précédent.
Quel lien peut-on faire entre l'abscisse du sommet de la parabole avec [math]a[/math] et [math]b[/math] ?
L'abscisse du sommet de la parabole vaut [math]\frac{-b}{2a}[/math]-
Comment obtenir alors l'ordonnée du sommet de la parabole ?
L'ordonnée du sommet de la parabole est l'image de son abscisse par la fonction [math]f[/math] définie par [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math]
Au vu de son intersection avec l'axe des ordonnées, de son orientation et de l'abscisse de son sommet, l'équation de P[sub]1[/sub] est :
Au vu de son intersection avec l'axe des ordonnées, de son orientation et de l'abscisse de son sommet, l'équation de P[sub]2[/sub] est :
VI Axe de symétrie
On remarque que toute parabole admet un axe de symétrie.[br]Sur le graphique suivant, tracer l'axe de symétrie de la parabole :
V. Tracé de parabole
Dans les exemples suivants :[br]Trouver l'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées.[br]Calculer l'abscisse et l'ordonnée de son sommet.[br]Tracer l'axe de symétrie de la parabole.[br]Déterminer l'orientation de la parabole, puis tracer son allure.
Exemple 1
Donner l'allure de la parabole d'équation [math]y=-x^2+2x+2[/math]
Exemple 2
Donner l'allure de la parabole d'équation [math]y=x^2-4x-1[/math]