[size=200][b]III. Ermitteln der Funktion (Teil 1)[/b][/size][br][math]\quad\quad[/math][size=200]… nach Foto, mit Schieberegler[/size]

Die Kette hängt zwischen den Aufhängepunkten A und B, die voneinander einen Abstand von ungefähr 1,4m haben.[br]Das Bild wird so in das Koordinatensystem eingepasst, dass diese beiden Punkte symmetrisch zur y-Achse liegen. [br]Die x-Achse könnte beliebig gelegt werden, hier verläuft sie ungefähr auf der Höhe der Oberkante der Steinmauer.[br]Bei dieser Wahl von Maßstab und Lage der Achsen befinden sich die Aufhängepunkte bei[br]A=(-0.70|0.53) und B=(0.70|0.53).

Um die Kette in der Abbildung durch eine Cosinus hyperbolicus Funktion zu beschreiben, muss diese Funktion angepasst werden:[br][list][*]Streckung oder Stauchung um einen Faktor [math]a[/math] in y-Richtung[/*][*]Streckung oder Stauchung um denselben Faktor [math]a[/math] in x-Richtung[/*][*]Verschiebung in y-Richtung, so dass der Graph durch die Punkte A und B verläuft.[br][/*][/list][sub]Anmerkung: Streckung in x- und y-Richtung müssen um denselben Faktor erfolgen, vgl. Herleitung.[/sub]

Die Streckung in y-Richtung erfolgt durch Multiplikation der Funktion [math]\cosh(x)[/math] mit einem Faktor:[br][math]f_a(x)=a \cdot \cosh(x)[/math].[br]Mit [math]a=2[/math] werden dadurch z.B. alle Funktionswerte doppelt so groß.[br][br]Die Streckung in x-Richtung erfolgt dadurch, dass [math]x[/math] durch [math]\frac{x}{a}[/math] ersetzt wird.[br]Ist z.B. [math]a=2[/math], so werden die gleichen Funktionswerte wie vorher erst bei einem doppelt so großen x-Wert erreicht.[br][br]Also lautet unsere Funktion vorläufig[br][math]f_a(x)=a\cdot\cosh\left(\frac{x}{a}\right)[/math][br][br]Der Graph dieser Funktion wandert mit größer werdendem [math]a[/math] jedoch immer weiter nach oben.[br]Er soll jedoch unabhängig von [math]a[/math] stets durch die Punkte A und B verlaufen.[br]Dazu wird der Graph nun in zwei Schritten in y-Richtung verschoben:[br][list][*]An den Stellen der Aufhängepunkte bei [math]\pm c[/math] mit [math]c = 0.7[/math] hat der bisherige Funktionsterm den Wert [math]a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right)[/math].[br]Ziehen wir diesen Wert bei der Funktion ab, so wird der Graph bei [math]x = \pm c[/math] die x-Achse schneiden, dort also Nullstellen haben.[/*] [br][*]Nun muss der Graph nur noch um die Höhe [math]h=0.53[/math] nach oben verschoben werden, damit er durch die Aufhängepunkte verläuft.[/*][br][/list]Somit lautet die endgültige Funktion [br][math]\boxed{f_a(x)=a\cdot\cosh\left(\frac{x}{a}\right) - a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right) + h}[/math], [br]oder mit den Werten [math]c=0.7[/math] bzw. [math]h=0.53[/math][br][math]f_a(x)=a\cdot\cosh\left(\frac{x}{a}\right) - a\cdot\cosh\left(\frac{0.7}{a}\right) + 0.53[/math][br]

Das Bild wurde jetzt in den Hintergrund gelegt.[br]Die Funktion [math]f_a(x)=a\cdot\cosh\left(\frac{x}{a}\right)-a\cdot\cosh\left(\frac{c}{a}\right)+h[/math] ist mit [math]c=0.7[/math] und [math]h=0.53[/math] mit variablem Parameter [math]a[/math] dargestellt.[br][br]Stellen Sie den Wert für [math]a[/math] mit dem Schieberegler so ein, dass der Graph möglichst genau mit der Kette übereinstimmt!