[b]Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate[/b][br][br]1. Wenn du nun den Punkt B immer näher an A heranbewegst (damit also das Intervall immer schmaler machst), so erhältst du immer bessere Näherungswerte für die Steigung an der Stelle a selbst. Du siehst, wie sich die Sekante immer besser an die Tangente annähert, welche du über das entsprechende Kontrollkästchen einblenden kannst. Eine Tangente an der Stelle x einer Funktion ist übrigens eine Gerade, die den Graphen der Funktion an dem entsprechenden Punkt berührt und an diesem Punkt dieselbe Steigung hat wie die Funktion. Er berührt die Funktion jedoch nur und schneidet sie nicht.[br][br]2. Schau dir nun nochmal das Steigungsdreieck an. Je näher die beiden Punkte A und B aneinander liegen, desto kleiner wird es. Was passiert mit dem Differenzenquotienten, wenn du mit A genau auf B fährst? Kann man dann überhaupt noch einen Wert ausrechnen?[br][br]3. Halten wir fest: Bei einer Annäherung von b gegen a nähert sich die Sekante einer Tangente an. Die Steigung dieser Tangente ist die Steigung der Kurve an der Stelle a. Das heißt, wir erhalten die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle a zunächst nicht als direkt berechenbaren Wert sondern lediglich als Grenzwert einer Folge von Sekantensteigungen. Die nächste Aufgabe wird nun sein, dieses anschauliche Verfahren auch rechnerisch in den Griff zu bekommen.[br][br]4. Für die lokale Steigung an der Stelle a findet man folgenden Ausdruck. Versuche, ihn mithilfe einer Skizze zu veranschaulichen und zu erläutern. [br]Tipp: Wir schreiben die Stelle b hierfür als b = a + h. Dabei ist h die Breite unseres Steigungsdreiecks.[br][br]