Mit Hilfe von Exponentialfunktionen kann man die unterschiedlichsten Modelle erstellen. Man kann Wachstums- oder Zerfallsprozesse beschreiben.[br][br]In diesem Abschnitt betrachtet man, dass man jede Exponentialfunktion des Typs [math]a^x[/math] mit [math]a>0[/math] in eine natürliche Exponentialfunktion umwandelt kann.
Betrachen Sie die Funktionen [math]f\left(x\right)=2^x[/math] und [math]g\left(x\right)=e^x[/math]. Nun soll untersucht werden, ob für alles [math]x[/math]-Werte [math]f\left(x\right)=g\left(x\right)[/math] gilt.[br][br]Beachten Sie die Potenz- und Logaritmusgesetze:[br][br]1) [math]log\left(a^x\right)=x\cdot log\left(a\right)[/math][br][br]2) [math]e^{ln\left(a\right)}=a[/math][br][br]3) [math]ln\left(e^a\right)=a[/math][br][br]4) [math]\left(e^a\right)^b=e^{a\cdot b}[/math][br]
Versuchen Sie die Gleichung [math]2^z=e^x[/math] so umzuformen, dass man [math]f\left(z\right)=2^z[/math] als natürliche Exponentialfunktion darstellen kann.[br][br]Zur Information: Man verwendet hier zwei Variablen (z und x), weil man offensichtlich nicht für die gleichen [math]x[/math]-Werte die gleichen Funktionswerte bekommt.[br][br]Notieren Sie ihre Herleitung in ihren Unterlagen und vergleichen Sie sie mit der Lösung.
[math][/math]Die Umformung lautet wie folgt:[br][br][math]2^z=e^x\qquad[/math]| [math]ln\left(\right)[/math][br][math]ln\left(2^z\right)=ln\left(e^x\right)[/math][br][math]z\cdot ln\left(2\right)=x[/math][br][br]Man erkennt nun: [math]f\left(x\right)=2^x=e^{ln\left(2\right)\cdot x}[/math]
Vergleichen Sie die Funktionswerte der drei Funktionen:[br][br][math]f\left(x\right)=2^x,g\left(x\right)=e^x[/math] und [math]h\left(x\right)=e^{ln\left(2\right)\cdot x}[/math][br][br]Mit dem Schieberegler kann man den x-Wert verändern.
Betrachten Sie die Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=3^x[/math] und wandeln Sie sie in eine natürliche Exponentialfunktion um.
Betrachten Sie die Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=10^x[/math] und wandeln Sie sie in eine natürliche Exponentialfunktion um.
Man kann eine Exponentialfunktion der Form [math]f\left(x\right)=a^x[/math], mit [math]a>0[/math] in eine natürliche Exponentialfunktion umwandeln:[br][br][math]f\left(x\right)=a^x=e^{ln\left(a\right)\cdot x}[/math][br][br]Im späteren Verlauf verwendet man den Parameter [math]k=ln\left(a\right)[/math], so ergibt sich der Funktionsterm:[br][br][math]f\left(x\right)=e^{k\cdot x}[/math][br][br]Für [math]k<0[/math] fällt der Graph und beschreibt einen Zerfall und für [math]k>0[/math] steigt und beschreibt ein Wachstum.