2.5.1 Allgemeines
Umformung der Exponentialfunktionen
Mit Hilfe von Exponentialfunktionen kann man die unterschiedlichsten Modelle erstellen. Man kann Wachstums- oder Zerfallsprozesse beschreiben.
In diesem Abschnitt betrachtet man, dass man jede Exponentialfunktion des Typs mit in eine natürliche Exponentialfunktion umwandelt kann.
Betrachen Sie die Funktionen und . Nun soll untersucht werden, ob für alles -Werte gilt.
Beachten Sie die Potenz- und Logaritmusgesetze:
1)
2)
3)
4)
Aufgabe 1 a)
Versuchen Sie die Gleichung so umzuformen, dass man als natürliche Exponentialfunktion darstellen kann.
Zur Information: Man verwendet hier zwei Variablen (z und x), weil man offensichtlich nicht für die gleichen -Werte die gleichen Funktionswerte bekommt.
Notieren Sie ihre Herleitung in ihren Unterlagen und vergleichen Sie sie mit der Lösung.
Aufgabe 1 b)
Vergleichen Sie die Funktionswerte der drei Funktionen:
und
Mit dem Schieberegler kann man den x-Wert verändern.
Aufgabe 1 c)
Betrachten Sie die Exponentialfunktion und wandeln Sie sie in eine natürliche Exponentialfunktion um.
Aufgabe 1 d)
Betrachten Sie die Exponentialfunktion und wandeln Sie sie in eine natürliche Exponentialfunktion um.
MERKE:
Man kann eine Exponentialfunktion der Form , mit in eine natürliche Exponentialfunktion umwandeln:
Im späteren Verlauf verwendet man den Parameter , so ergibt sich der Funktionsterm:
Für fällt der Graph und beschreibt einen Zerfall und für steigt und beschreibt ein Wachstum.