Algebraische Grundlagen

Direkt vorweg: Einmaleins üben!
Und am besten auch gleich rückwärts!
hier im Quizformat
Rechenzeichen
[size=85]Ein Rechenzeichen sagt dir, wie du rechnen sollst.[br][br]Die für dich wichtigsten Rechenzeichen sind:[/size][br][br][table][tr][td] Rechenart[/td][td]verwendete Rechenzeichen[/td][/tr][tr][td] Addition[/td][td]+[/td][/tr][tr][td] Subtraktion[/td][td]-[/td][/tr][tr][td] Multiplikation[/td][td]⋅ oder x[/td][/tr][tr][td] Division[/td][td]: oder / oder [math]\frac{a}{b}[/math] (Bruchstrich)[/td][/tr][tr][td] Potenzieren[/td][td][math]a^b[/math][/td][/tr][tr][td] Radizieren[/td][td][math]\sqrt{a}[/math][/td][/tr][tr][td] Klammern [br][/td][td]( ) oder { } oder [ ][/td][/tr][tr][td] Betrag[/td][td]|a|[/td][/tr][/table]
richtiges Runden
Stellenwertsystem
[size=85]Das Stellenwertsystem hilft dir, mit einer kleinen Anzahl von Ziffern beliebig große Zahlen darstellen zu können.[br][br]Das bekannteste Stellenwertsystem ist das Dezimalsystem (das "Zehnersystem"). In diesem sind zehn Ziffern zu finden: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Diese Ziffern reichen aus, um alle Reelle Zahlen darzustellen.[br][br]Wie das geht? Eigentlich ganz einfach: man darf an jeder Stelle im Stellenwertsystem maximal eine Ziffer einsetzen. Damit man unterschiedlich große (und kleine) Zahlen darstellen kann, gibt es verschiedene Stellen.[br][br]Die erste Stelle, der Ausgangspunkt jeder Zahl, wird als Einerstelle bezeichnet (kurz E). Die nächste Stelle wird als Zehner (Z) bezeichnet. Da die Zahlen aber ursprünglich aus dem arabischen Raum stammen, wird die Zehner-Stelle nicht rechts neben der Einer-Stelle angesetzt, sondern links - man schreibt im arabischen von rechts nach links.[br]Die Stelle rechts neben der Einer-Stelle markiert die erste Stelle der Dezimalbrüche, also einer Aufteilung. Sie wird Zehntel (z) genannt.[br]Jeder Stelle links der Einer-Stelle hat daher eine ähnlich benannte Bruchstelle rechts der Einer-Stelle - und diese kommt auch in derselben Reihenfolge. Schau dir dazu die Stellenwerttafel an:[br][/size]
Wie du erkennen kannst, ist die Einer-Stelle eine ganz besondere. Sie ist die einzige, für die es keine passende Partner-Stelle auf der Seite der Rationalen Zahlen (aller Kommazahlen) gibt. Wird eine Zahl vollständig in einer Stellenwerttafel eingetragen, dann muss die Einer-Stelle immer mit einer Ziffer belegt sein. Alle anderen können ohne Ziffern beschrieben werden (dadurch erhalten sie automatisch die Ziffer "0", diese muss aber nicht zwingen immer eingetragen werden).[br]
ohne Kommazahlen
Für den Einsatz in der Grundschule
Für den Einsatz in der Grundschule
Primfaktoren
[size=85]Jede Zahl kann in Primzahlen zerlegt werden, die sogenannten Primfaktoren. Diese ergeben, wenn man sie miteinander multipliziert, wieder die ursprüngliche Zahl.[br][br]Ist nur ein Primfaktor vorhanden, dann ist die Zahl eine Primzahl.[/size]
Multiplikationspaare
[size=85]Zahlen können durch Multiplikation zweier Zahlen dargestellt werden. Oft gibt es mehrere solcher Paare für eine Zahl.[/size]
kgV und ggT
[size=85]das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) und der größte gemeinsame Teiler (ggT) sind wichtig, da wir mit ihnen sehr schnell Zahlen untereinander vergleichen können.[br][br]Probier es einfach mal aus, das geht wahrscheinlich am schnellsten.[/size]
Variable
[size=85]Die Variable ist eine mathematische Leerstelle, auch Platzhalter oder Veränderliche genannt.[br][br]Sie wird benutzt, wenn man Rechnungen aufstellen möchte, aber noch nicht alle Zahlenwerte genau kennt. Sie hilft uns auch, dass wir allgemein gültige Formeln aufstellen können [br](z.B. Flächeninhalt beim Rechteck A = a⋅b).[/size][br]
Ziffer
[size=85]Baustein der Zahlen - aus diesen Elementen besteht jede Zahl.[br][br]Im Dezimalsystem (dem "Zehnersystem") sind zehn Ziffern zu finden: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.[br][/size]
Zahl
[size=85]Zahlen nutzen die Menschen schon seit Jahrtausenden, um z.B. die Anzahl von Gegenständen leicht erkennbar zu machen.[br][br]Du kennst wahrscheinlich die römischen Zahlzeichen sowie die arabischen Zahlzeichen, die wir tagtäglich verwenden.[br][br]Unser Zahlensystem basiert auf 10 Ziffern, von 0 bis 9. (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)[br]Mit diesen Zehn Ziffern und dem sogenannten Stellenwertsystem lassen sich alle Zahlen, denen wir im Alltag begegnen, darstellen.[br][br]Bei den Zahlen wird unterteilt in:[br] - Natürliche Zahlen[br] - Ganze Zahlen[br] - Rationale Zahlen[br] - Reelle Zahlen[br][/size]

Diagramme

[size=85]Ein Diagramm ist eine graphische Darstellung eines mathematischen Sachverhaltes. [br][br]Ok, das klingt jetzt kompliziert. Einfacher gesagt: Wir versuchen damit Zahlenwerte aus Listen so darzustellen, dass auf den ersten Blick klar wird, welche größer sind. Damit kann man mit Hilfe geometrischer Formen schnell auf den ersten Blick Größenverhältnisse erkennen. Der Vorteil ist, dass man dadurch weniger Zahlen lesen muss.[br][br]Für uns wichtig sind folgende Diagramme:[br] - 01 Balkendiagramm[br] - 02 Säulendiagramm[br] - 03 Streifendiagramm[br] - 04 Kreisdiagramm[br] - 05 Liniendiagramm[br] [br][/size]
Balkendiagramm
[size=85]In einem Balkendiagramm werden Daten aus Listen mit Hilfe von waagrecht liegenden Rechtecken dargestellt (diese erinnern uns z.B. an den Schwebebalken)[br][br]Als Grundlage dient dabei immer der erste Quadrant eines Koordinatensystems.[br][br]Folgendes Beispiel erklärt es dir: [br][/size][br]
[size=85]Es fällt dir bestimmt auf, dass im Vergleich zum Säulendiagramm neben der Ausrichtung der Rechtecke auch die Bezeichnungen der Achsen gewechselt hat.[/size]
Säulendiagramm
[size=85]In einem Säulendiagramm werden Daten aus Listen mit Hilfe von senkrecht stehenden Rechtecken dargestellt (diese erinnern uns z.B. an die Säulen alter Gebäude)[br][br]Als Grundlage dient dabei immer der erste Quadrant eines Koordinatensystems.[br][br]Folgendes Beispiel erklärt es dir: [br][/size]
Es fällt dir bestimmt auf, dass im Vergleich zum Balkendiagramm neben der Ausrichtung der Rechtecke auch die Bezeichnungen der Achsen gewechselt hat.[br]
Streifendiagramm (Prozentstreifen)
[size=85]In einem Streifendiagramm werden Daten aus Listen mit Hilfe von senkrecht aneinander liegenden Rechtecken dargestellt.[br][br]Folgendes Beispiel erklärt es dir: [br][/size]
[size=85]Der gesamte Streifen veranschaulicht dir hier den Grundwert, also die gesamten 100%.[/size]
Kreisdiagramm (Prozentkreis)
[size=85]In einem Kreisdiagramm werden Daten aus Listen mit Hilfe von Kreisausschnitten dargestellt.[br][br]Folgendes Beispiel erklärt es dir: [br][/size]
Oben siehst du in der Legende, welche Noten es gibt. Im Kreisdiagramm siehst du in jedem Kreisausschnitt, wie oft diese Note vorkam.[br][br][br][br][br]Die Werte im Kreisdiagramm werden häufig auch in Prozent angegeben, wie im folgenden Beispiel: Prozentkreis[br]
[size=85]Diese Darstellung hat den Vorteil, dass du beim zeichnen schneller sein kannst. [br]Es gilt: Prozentsatz ⋅ 360° ≙ Größe des Winkels im Kreisdiagramm[br][/size]
Liniendiagramm
[size=85]In einem Liniendiagramm werden Daten aus Listen mit Hilfe von durch Linien verbundene Punkte dargestellt. Man spricht von einem linearen Zusammenhang.[br][br]Als Grundlage dient dabei immer der erste Quadrant eines Koordinatensystems.[br][br]Folgendes Beispiel erklärt es dir: [br][/size]
[size=85]Es fällt dir bestimmt auf, dass im Vergleich zum Säulendiagramm die einzelnen Werte miteinander verbunden wurden. Man kann dabei die Steigung bzw. das Gefälle zum benachbarten Wert besser erkennen.[/size]

Statistik

Listen
[size=85]Um Daten untereinander vergleichen zu können, sammelt man sie in der Mathematik in Listen.[br][/size]
Urliste
[size=85]In einer Urliste werden Daten gesammelt. Dabei wird darauf geachtet, dass man alle relevanten Informationen einträgt. Eine Urliste ist noch nicht sortiert, da dies während dem Erstellen oft gar nicht möglich ist.[br][br]Beispiel Urliste:[/size]
Eine Sortierung erfolgt erst in der Rangliste.[br]
Rangliste
[size=85]In einer Rangliste werden die in der Urliste erhobenen Daten in eine Reihenfolge gebracht, entweder im Wert aufsteigend oder im Wert absteigend.[br][br]Beispiel aufsteigende Sortierung:[br][/size]
Beispiel absteigende Sortierung:
Strichliste
[size=85]Eine Strichliste ist eine besondere Form der Urliste bzw. der Rangliste. Sie wird häufig bei Abfragen genutzt, bei denen ein Ergebnis mehrfach vorkommen kann. Dabei wird jede Nennung als ein Strich notiert. Der jeweils fünfte Strich wird als Querstrich über die vier vorher notierten Striche gezogen (Fünfer-Bündelung, liegt an den fünf Fingern der Hand).[/size]
Häufigkeitsliste
[size=85]Bei der Häufigkeitsliste wird durch die absolute Häufigkeit angegeben, wie viele Nennungen für ein Ereignis vorkamen. [br]Die relative Häufigkeit stellt diese Nennung als Prozentsatz dar, um so einen schnellen Vergleich auch mit anderen Listen [/size]

Geometrische Grundlagen

[size=85]Hier findest du viele Begriffe, die dir durch den Unterricht schon bekannt sein sollten (zumindest in den höheren Klassen).[br][br]Aber nimm dir ruhig mal Zeit und schau sie dir an, diese Begriffe sind Grundlagen für gute Mathematik.[br][/size]
Flächen
[size=85]Flächen in der Mathematik befinden sich im zweidimensionalen Raum. Sie haben daher zwei senkrecht aufeinander stehende Längen, wie beim Koordinatensystem. [br][br]Die Flächen können durch Seiten begrenzt werden, dadurch entstehen Figuren. Was auf den ersten Blick für dich jetzt vielleicht komisch klingt, erklärt sich am besten durch das folgende Bild:[br][/size]
[size=85]Beispiele für ebene geometrische Figuren: Dreieck, Viereck, Fünfeck und Kreis[br][br]Bei diesen Figuren berechnet man Umfang und Flächeninhalt[br][/size][br]
Grundfläche
[size=85]Die Grundfläche nennt man die Fläche, auf der ein Körper steht (oder die wir zur Berechnung als solche betrachten!)[br][br]Beispiele von Grundflächen in der Geometrie[br] • Die Grundfläche eines Quaders ist ein Rechteck.[br] • Die Grundfläche einer Pyramide ist ein Vieleck.[br] • Die Grundfläche eines Zylinders ist ein Kreis oder eine Ellipse.[br] • Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis.[br][/size]
Seitenfläche
[size=85]Seitenfläche: Damit ist der Rand von Körpern gemeint (also die Begrenzung).[br][/size]
Deckfläche
[size=85]Die Deckfläche nennt man die Fläche, die einen Körper nach oben abdeckt (quasi der Deckel).[/size][br]
Grund-, Seiten- und Deckfläche am Beispiel des Zylinders
Flächeninhalt
[size=85]Der Flächeninhalt einer Figur beschreibt das, was innerhalb der Figur ist. Er ist als Fläche zweidimensional und wird daher in der Einheit immer mit "hoch 2" angegeben (Bsp.: [math]cm^2[/math])[br][br]Du findest hier die Flächeninhalte folgender Figuren:[br] - Dreieck allgemein bzw. Dreieck Trigonometrie[br] - Quadrat[br] - Rechteck[br] - Raute[br] - Parallelogramm[br] - Drachen[br] - Gleichschenkliges Trapez[br] - Trapez[br] - Kreis[br] - Kreisring[br] - Kreisausschnitt[br] - Kreisabschnitt[br] - Sechseck[br] - Regelmäßiges Vieleck (n-Eck)[br][/size]
Umfang
[size=85]Der Umfang gibt an, wie lang die Seiten einer Figur insgesamt sind. Man zählt sie also einfach zusammen.[br][br]Bei den Vielecken gilt: der Name der Figur verrät dir, wie viele Seiten du zusammenzählen musst.[br][br]Beispiel: [br]Dreieck -> drei Seiten[br]Achteck -> acht Seiten[br][br][br][br]Beim Kreis als eckenlose Figur entspricht der Umfang der Länge seiner Kreislinie.[br][/size]
Diagonale
[size=85]Unter einer Diagonale versteht man in der Mathematik eine Gerade, die in geometrischen Flächen oder Körpern von einer Ecke zu einer anderen Ecke verläuft. Dabei geht diese Gerade immer durch die Fläche oder den Körper.[br][br]In den folgenden Beispielen siehst du rot eingezeichnet die Diagonalen:[br][/size]
[size=85]Eine Diagonale im Viereck[/size]
[size=85]Eine Diagonale im Fünfeck[/size]
[size=85]Eine Diagonale im Quader[/size]
Koordinatensystem
[size=85]Ein Koordinatensystem besteht aus zwei senkrecht zueinander stehenden Zahlenstrahlen.[br][br]Dadurch kann man Zuordnungen grafisch darstellen. [br]Es dient der Visualisierung.[/size]
[size=85]Jedes Koordinatensystem hat eine Abszisse (x-Achse) und eine Ordinate (y-Achse).[br][br]Außerdem nennt man die einzelnen Bereiche Quadranten:[br][/size]
[size=85]Die Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn benannt. Warum? Weil auf diesem Weg immer nur ein Vorzeichen der x- und y-Werte gewechselt wird und mit dem x-Wert begonnen wird:[br][br][table][tr][td]Quadrant[/td][td]Vorzeichen x-Wert[/td][td]Vorzeichen y-Wert[/td][/tr][tr][td]1[/td][td]+[/td][td]+[/td][/tr][tr][td]2[/td][td]-[/td][td]+[/td][/tr][tr][td]3[/td][td]-[/td][td]-[/td][/tr][tr][td]4[/td][td]+[/td][td]-[/td][/tr][/table][/size]
Körper
[size=85]Ein Körper ist eine dreidimensionale Figur. Er besitzt Grenzseiten, die sogenannten Flächen.[br][br]Die Körper werden in drei Kategorien eingeteilt: [br] 1. Polyeder (Körper aus Vielecken)[br] 2. Konvexe Körper (regelmäßige Körper)[br] 3. Rotationskörper (Kreisrotationskörper)[br] [br]Hier ein paar Beispiele:[br][br]Kugel, Pyramide, Würfel, Kreiszylinder, Kegel[br][/size]
Polyeder
[size=85]Wörtlich übersetzt bedeutet Polyeder Vielflächner. Du hast hier also alle Körper, die durch gerade Flächen begrenzt sind, also durch Dreiecke, Vierecke oder weitere Vielecke.[br][br]Beispiele für Polyeder:[br][br]Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Regelmäßige Körper[br][br][br]Obacht: Sobald ein Kreis als Fläche dabei ist, spricht man von einem Rotationskörper.[br][/size]
Rotationskörper
[size=85]Rotationskörper entstehen durch Rotation einer Fläche um eine Achse.[br][br]In diesem Beispiel entsteht ein Zylinder durch Rotation eines Rechtecks.[br][/size]
Mantel
[size=85]Ein Körper hat mehrere Flächen. Jeder Körper hat eine Grundfläche, manche auch eine Deckfläche. [br][br]Die sogenannte Mantelfläche beinhaltet alle Flächen des Körpers ohne[br]Grundfläche und Deckfläche. Er ist die Summe der Seitenflächen.[br][/size]
Oberflächeninhalt
[size=85]Der Oberflächeninhalt ist die Summe aller nach außen abgrenzenden Flächen eines Körpers.[br][br]Wir berechnen den Oberflächeninhalt für folgende Körper:[br] - Würfel[br] - Quader[br] - Prisma[br] - quadratische Pyramide[br] - regelmäßige Dreieckspyramide (Tetraeder)[br] - regelmäßige Sechseckspyramide[br] - regelmäßige n-Ecks-Pyramide[br] - Zylinder[br] - Kegel[br] - Kugel[br] - Oktaeder[br] - Dodekaeder[br] - Ikosaeder[br][/size]
Volumen
[size=85]Das Volumen beschreibt den Rauminhalt eines Körpers.[br][br]Wir berechnen das Volumen für folgende Körper:[br] - Würfel[br] - Quader[br] - Prisma[br] - quadratische Pyramide[br] - regelmäßige Dreieckspyramide (Tetraeder)[br] - regelmäßige Sechseckspyramide[br] - regelmäßige n-Ecks-Pyramide[br] - Zylinder[br] - Kegel[br] - Kugel[br] - Oktaeder[br] - Dodekaeder[br] - Ikosaeder[br][/size]
Längen
[size=85]Überall im Alltag triffst du auf Längen. Deinen Schulweg, deine Köprergröße, jeder Gegenstand hat mindestens eine Länge.[br][br]Diese sind messbar, z.B. in Metern (das ist auch die Grundeinheit der Länge)[br][br]In der Mathematik misst man die Länge immer entlang einer Geraden, wie beim Zahlenstrahl.[br][/size][br]
Maßstab
[size=85]Überall im Alltag triffst du auf Längen. Deinen Schulweg, deine Köprergröße, jeder Gegenstand hat mindestens eine Länge.[br][br]Diese sind messbar, z.B. in Metern (das ist auch die Grundeinheit der Länge)[br][br]In der Mathematik misst man die Länge immer entlang einer Geraden, wie beim Zahlenstrahl.[br][/size][br]
Parallele
[size=85]Wenn zwei Geraden zueinander immer den gleichen Abstand (rechtwinklig) haben, dann sagt man: sie verlaufen parallel.[br][br][br]In diesem Beispiel haben die Geraden g und h immer denselben Abstand: sie sind parallel (g ∥ h).[br][br]Auch die Geraden i und j haben immer denselben Abstand: auch sie sind parallel (i ∥ j)[br][/size][br]
Seite
[size=85]Der Begriff Seite ist in der Mathematik immer etwas schwammig. Wenn du den Begriff hörst, dann merke dir bitte folgendes: damit ist die Begrenzung einer zweidimensionalen Figur gemeint, quasi deren Rand.[br][br]Der Begriff kann auch in einem Wort enthalten sein:[br][br]Seitenfläche: Damit ist der Rand von Körpern gemeint (also die Begrenzung)[br][/size]
Strecke, Halbgerade, Gerade
[size=85]Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten (Startpunkt und Endpunkt).[br][br]Eine Halbgerade startet wie die Strecke im Startpunkt, hört aber nicht im Endpunkt auf, sondern läuft in gleicher Richtung unendlich weiter.[br][br]Eine Gerade kommt aus der Unendlichkeit, läuft durch Start- und Endpunkt und weiter bis in die Unendlichkeit[br][/size][br]

Sinus, Kosinus und Tangens

[size=85]In einem rechtwinkligen Dreieck mit[/size] [math]\left(0°=\alpha=90°\right)[/math][size=85] gilt:[/size][br][br][math]sin\alpha=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{a}{c}[/math][br][br][math]cos\alpha=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}=\frac{b}{c}[/math][br][br][math]tan\alpha=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}\frac{a}{b}[/math]
Allgemeines Dreieck
[size=85]Beim allgemeinen Dreieck gelten in der Trigonometrie folgende Formeln:[br][br]Flächeninhalt:[/size][br][br][math]A=\frac{1}{2}ab\cdot sin⁡γ[/math][br][br][math]A=\frac{1}{2}ac\cdot cos⁡β[/math][br][br][math]A=\frac{1}{2}bc\cdot sin⁡α[/math][br][br][br][size=85]Sinussatz:[/size][br][br][math]\frac{a}{b}=\frac{sin⁡α}{sin⁡β}[/math] [br][br][math]\frac{a}{c}=\frac{sin⁡α}{sin⁡γ}[/math] [br][br][math]\frac{b}{c}=\frac{sin⁡β}{sin⁡γ}[/math][br][br][br][br][size=85]Kosinussatz:[/size][br][br][math]a^2=b^2+c^2−2bc\cdot cos⁡α[/math][br][br][math]b^2=a^2+c^2−2ac\cdot cos⁡β[/math][br][br][math]c^2=a^2+b^2−2ab\cdot cos⁡γ[/math]
Einheitskreis
[size=85]Im Einheitskreis gilt: [br][br][math]sin\alpha=y[/math][br] [br][math]cos\alpha=x[/math][br] [br][math]tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}[/math][br] [br][math]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1[/math][br]  [table][tr][td] [/td][td]0°[/td][td]30°[/td][td]45°[/td][td]60°[/td][td]90°[/td][/tr][tr][td][math]sin\alpha[/math][/td][td]0[/td][td][math]\frac{1}{2}[/math][/td][td][math]\frac{1}{2}\sqrt{2}[/math][/td][td][math]\frac{1}{2}\sqrt{3}[/math][/td][td]1[/td][/tr][tr][td][math]cos\alpha[/math][/td][td]1[/td][td][math]\frac{1}{2}\sqrt{3}[/math][/td][td][math]\frac{1}{2}\sqrt{2}[/math][/td][td][math]\frac{1}{2}[/math][/td][td]0[/td][/tr][tr][td][math]tan\alpha[/math][/td][td]0[/td][td][math]\frac{1}{3}\sqrt{3}[/math][/td][td]1[/td][td][math]\sqrt{3}[/math][/td][td]-[/td][/tr][/table][/size]
Quelle: [url=https://x.com/memecrashes/status/1664576976236019712]https://x.com/memecrashes/status/1664576976236019712[/url] (25.05.2024)

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