[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/ythdshnm][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url]([color=#ff7700][i][b]27.04.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][br][size=85][i][color=#ff00ff][right]translation is in progress[/right][/color][/i][/size]

[size=85][br][br][b][i][u][color=#cc0000]Was läßt sich im Applet erkunden? (Kurzfassung)[/color][/u][/i][/b][br]Die [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] [math]\left(g'\right)^2=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\cdot\left(g-f_3\right)\cdot\left(g-f_4\right)[/math] besitzt für [b][color=#cc0000]4[/color][/b] verschiedene[b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [br][math]f_1,f_2,f_3,f_4\in\mathbb{C}[/math] als Lösung eine [b][i][color=#ff00ff]elliptische Funktion[/color][/i][/b] [math]z\mapsto g\left(z\right)[/math]. Im Applet sind die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] in [b][i]Normalform[/i][/b] [br][math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] angegeben, dies ist mit einer [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] stets möglich.[br]Für geeignetes [math]c\in\mathbb{C}[/math] sind [b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] zweier [b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüschel[/color][/i][/b], deren [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt-Paare[/color][/i][/b] [br]aus den gegebenen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] gebildet werden. Dies ist auf [b][color=#cc0000]3[/color][/b] verschiedene Weisen möglich. [br]Im "allgemeinen Fall" (die [b][i]absolute Invariante[/i][/b] [math]J_{abs}[/math] ist nicht reell), ergeben sich verschiedenen Richtungen der [b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b][br]durch einen vorgegebenen [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]p[/color][/b]. [b][color=#ff0000][br]p[/color][/b] wie [b][color=#00ff00]f[/color][/b] sind beweglich, allerdings müssen für die neue Lage die Daten [b][i][color=#134f5c]neu[/color][/i][/b] berechnet werden![br]Ist jedoch die [b][i]absolute Invariante[/i][/b] reell und nicht negativ - die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#ff0000]konzyklisch[/color][/i][/b] und liegen in [b][i]Normalfalllage[/i][/b] auf[br]einer der [b][i][color=#bf9000]Achsen[/color][/i][/b] oder auf dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] -, so sind die Richtungen identisch, [b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] sind [b]2-teilige[/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare [br]Quartiken[/color][/i][/b]. Wegen des hohen Rechenaufwandes werden diese [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] nur für die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] auf der [math]x[/math]-Achse oder auf [br]dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] angezeigt. [br]Die [b][i][color=#0000ff]winkelhalbierenden Richtungen[/color][/i][/b] sind für die [b][color=#cc0000]3[/color][/b] möglichen Fälle im [b][i][color=#ff0000]konzyklischen[/color][/i][/b] Fall zwar identisch, die [br][b][i][color=#0000ff]winkelhalbierenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color] [color=#ff0000]Kreise[/color] [/i][/b]sind jedoch verschieden: zu den [b][color=#cc0000]3[/color][/b] Möglichkeiten der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b]-[b]Paar[/b]-[br]Bildung gehören [b][color=#cc0000]3[/color][/b] verschiedene [b][i][color=#bf9000]Symmetrieen[/color][/i][/b]. Der [b][color=#cc0000]4.[/color][/b] [b][i][color=#999999]doppelt-berührende[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] geht durch [b][color=#ff0000]p[/color][/b] und ist [b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b] zum [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [br]durch die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b]. [br]Die [b][i]Mittelpunkte[/i][/b] der [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] durch den [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]p[/color][/b], die zu einer [b][i][color=#9900ff]Lösungsrichtung[/color][/i][/b] gehören, liegen auf [br]der [b][i][color=#0000ff]Normalen[/color][/i][/b] zu dieser [b][i][color=#9900ff]Richtung[/color][/i][/b], ihr [b]Doppelverhältnis[/b] ist reell; wirklich bemerkenswert ist die Tatsache, dass das [b]Doppelverhältnis[/b] bei geeigneter Reihenfolge mit den reellen [b]Doppelverhältnis[/b] der [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] übereinstimmt![br][br][b][i][color=#cc0000][u]Zusammengefaßt:[/u][/color][/i][/b][br][/size][list][*][size=85]Liegen die [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] einer [b][i][color=#ff00ff]elliptischen Funktion[/color][/i][/b] auf einem [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b], [br]so ist in jedem [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] (von den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] abgesehen)[br]die [b][i]absolute Invariante[/i][/b] der [b][color=#cc0000]4 [/color][/b]in diesem Punkt [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] einer [b][i][color=#9900ff]Lösungsrichtung[/color][/i][/b] [br]stets identisch mit der [b][i]absoluten Invariante[/i][/b] der [b][i][color=#ff00ff]elliptischen Funktion[/color][/i][/b].[br][/size][/*][/list]

[size=85]Die [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] einer [b][i][color=#38761d]komplex-analytischen[/color][/i][/b] (oder [b][i][color=#38761d]meromorphen[/color][/i][/b]) Funktion[br][list][*][math]\left(g'\right)^2=c\cdot \left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\cdot\left(g-f_3\right)\cdot\left(g-f_4\right)[/math], [math]c\in\mathbb{C}[/math][br][/*][/list]ist die [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] einer [b][i][color=#ff00ff]elliptischen Funktion[/color][/i][/b], wenn die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [math]f_1,f_2,f_3,f_4\in\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}[/math] [b][i]verschieden[/i][/b] sind; [br]ist einer der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [math]\infty[/math], so liegt eine [b]WEIERSTRASS[/b]sche [math]\wp[/math]-Funktion vor.[br][/size][list][*][size=85]Das durch die [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] gegebene [b][i][color=#cc0000][size=100]Vektorfeld[/size][/color][/i][/b] ist bei geeigneten [math]c\in\mathbb{C}[/math] [br][b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierenden-Feld[/color][/i][/b] zweier [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel-Vektorfelder[/color][/i][/b],[br]deren verschiedenen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] aus je [b][color=#cc0000]2[/color][/b] der oben angegebenen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] bestehen.[br][/size][size=85][/size][/*][/list][size=85]Diese Repräsentation des [b][i][color=#cc0000]Vektorfeldes[/color][/i][/b] durch [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel-Vektorfelder[/color][/i][/b] ist auf [b][color=#cc0000]3[/color][/b] verschiedenen Weisen möglich.[br][br]Durch eine geeignete [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] kann man die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] in [b][i]Normalform[/i][/b] darstellen:[br] [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{C}\backslash\left\{0,\pm1,\pm i,\infty\right\}[/math]. [br]Im allgemeinen Fall sind die [b][i][color=#bf9000]Punktspiegelungen[/color][/i][/b] an den Punktepaaren [math]\left\{0,\infty\right\},\left\{1,-1\right\},\left\{i,-i\right\}[/math][br]die einzigen [b][i][color=#f1c232]Symmetrien[/color][/i][/b] der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] und der [b][i][color=#ff00ff]elliptischen Funktion[/color][/i][/b]. [br]Die [b][i]absolute Invariante[/i][/b] [math]J_{\left\{abs\right\}}[/math] der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b], und damit die [b][i]absolute Invariante[/i][/b] der [b][i][color=#ff00ff]elliptischen Funktion[/color][/i][/b] [br]ist in diesen allgemeinen Fällen [b][i]nicht[/i][/b] reell.[br][list][*]Ist [math]J_{\left\{abs\right\}}\in\mathbb{R}[/math] mit [math]J_{\left\{abs\right\}}\ge0[/math], so sind die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]konzyklisch:[/color][/i][/b] sie liegen in [b][i]Normalform[/i][/b] auf einer der [b][i][color=#bf9000]Achsen[/color][/i][/b] [br]oder auf dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b]. Die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] und damit die [b][i][color=#ff00ff]elliptische Funktion[/color][/i][/b] sind dann [b][i][color=#bf9000]symmetrisch[/color][/i][/b] [br]zu [b][color=#cc0000]4[/color][/b] paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b], einer davon ist imaginär. [br]Für geeignetes [math]c[/math] sind die[b][i][color=#9900ff] Lösungskurven[/color][/i][/b] [b][i][color=#38761d]konfokale[/color][/i][/b] [b]2-teilige[/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b].[/*][*]Ist [math]J_{\left\{abs\right\}}\in\mathbb{R}[/math] mit [math]0\ge J_{\left\{abs\right\}}[/math], so liegen [b][color=#cc0000]2[/color][/b] der [b][i][color=#00ff00]Brennpunktpaare[/color][/i][/b] [b][i][color=#bf9000]spiegelbildlich[/color][/i][/b] auf [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color].[/i][/b] [br][b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#38761d]konfokale[/color][/i][/b] [b]1-teilige[/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][u][color=#0000ff]siehe die nächste Aktivität[/color][/u][/i][/b].[br][/*][/list][b][i][u][color=#cc0000]2 Spezialfälle: [/color][/u][/i][/b][br] [math]J_{\left\{abs\right\}}=0[/math] bei verschiedenen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b]: diese liegen [b][i][color=#0000ff]harmonisch[/color][/i][/b], zB. in den [b][i][color=#ff0000]Schnittpunkten[/color][/i][/b] [br] der [/size][color=#bf9000][i][b][size=85]Winkelhalbierende[/size][/b][/i][/color][size=85][color=#bf9000][i][b]n[/b][/i][/color] mit dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b].[br][math]J_{\left\{abs\right\}}=-1[/math]: [b][i][color=#0000ff]Tetraederlage[/color][/i][/b]: bei jeder möglichen Zerlegung der [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] in [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Punktepaare[/color][/i][/b] liegen diese [b][i][color=#ff0000]Paare[/color][/i][/b] [br] [b][i][color=#bf9000]spiegelbildlich[/color][/i][/b] auf [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b]. [br][br]Die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] lassen sich auf [b][color=#cc0000]3[/color][/b] verschiedene Weisen in [b][i][color=#ff0000]Punkte-Paare[/color][/i][/b] aufteilen. Ein solches [b][i][color=#ff0000]Punkte-Paar[/color][/i][/b] kann als[br][color=#00ff00][b][i]Brennpunkts-Paar[/i][/b][/color] eines [b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüschels[/color][/i][/b] dienen.[br]Seien beispielsweise [b][color=#00ff00]f[/color][/b], [b][color=#00ff00]f'[/color][/b] und [b][color=#00ff00]f''[/color][/b], [b][color=#00ff00]f'''[/color][/b] die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] für [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüschel[/color][/i][/b]: durch fast jeden [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]p[/color][/b] der Ebene geht[br]je genau ein [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] aus jedem [b][i][color=#ff0000]Büschel[/color][/i][/b]. Die [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierenden[/color][/i][/b]-[b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] dieser beiden [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] berühren die [b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] [br]durch den [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]p[/color][/b] und bestimmen die [b][i][color=#00ffff]Richtungen[/color][/i][/b] der [b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] ([size=50]Siehe Konstruktion[/size][icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon]).[br]Für [b][i]unterschiedliche[/i][/b] Aufteilung der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] in [b][i][color=#00ff00]Brennpunktspaare[/color][/i][/b] ergeben sich im allgemeinen Falle unterschiedliche Richtungen.[br]Sind die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] jedoch [b][i][color=#ff0000]konzyklisch[/color][/i][/b], dh. sie liegen (in [b][i]Normalfall-Lage[/i][/b] der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b]) auf einer der Achsen [br]oder auf dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b], so sind die Richtungen identisch. Die [/size][size=85][b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b][/size][size=85] durch einen [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]p[/color][/b][/size][size=85] sind [b][i][color=#ff7700]bizirkulare [br]Quartiken[/color][/i][/b]. Die [b][i][color=#0000ff]winkelhalbierenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] sind dann [b][i][color=#999999]doppelt-berührende[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] der [/size][size=85][b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b][/size][size=85], also der [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b],[/size]