Sucesiones, Sumatoria y Límites
[b]integrantes[/b] Valentina Pabón Fernando Padilla Sebastián Villegas Félix Ramos Kevin Pérez Jesús Higgins
Table of Contents
- Actividad Inicial
- Reflexión
- TORNEO DE SUCESIONES
- Sucesiones en la Naturaleza
- UN ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO DEL CONOCIMIENTO Y LA INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA
- 1. Introducción
- 2. Hacia un enfoque unificado del conocimiento y la instrucción matemática
- 3. Herramientas teóricas que componen el enfoque ontosemiótico
- 4. Conclusión
- SUCESIONES Y SUMATORIA
- Sucesiones
- RECURSO
- SUMATORIA
- LÍMITES
- Definición de límites
- Límites Laterales
- Propiedades de los Límites
- Limites
- LIMITES DE UNA SUCECIÓN
- Límite de una sucesión
- El teorema de la suma de dos sucesiones límite
- Conclusión
Reflexión
[list=1][*]¿Qué palabra se te viene a la mente cuando piensan en las sucesiones?[/*][*]¿Qué significado tienen por sucesión? [/*][*]¿Existen las sucesiones en el mundo físico?[/*][/list]
1. Introducción
Enfoque Ontosemiótico
Así pues, la Didáctica de las Matemáticas debe considerar las contribuciones de diversas disciplinas, además de tener en cuenta un análisis ontológico y epistemológico para estudiar los procesos de enseñanza y aprendizaje de objetos matemáticos.[br][br]Por lo tanto, la investigación en Didáctica de las Matemáticas no puede ignorar cuestiones filosóficas tales como:[br][list][*]¿Cuál es la naturaleza de los objetos matemáticos?[/*][*]¿Qué papel juegan la actividad humana y los procesos socioculturales en el desarrollo de las ideas matemáticas?[/*][*]¿Las matemáticas se descubren o inventan?[/*][*]¿Agotan las definiciones formales y los enunciados de las proposiciones el significado integral de los conceptos?[/*][*]¿Cuál es el papel que juegan en el significado de los objetos matemáticos, sus relaciones con otros objetos, las situaciones problemáticas en las cuales se usan como herramientas, y las diversas representaciones simbólicas?[/*][/list]
Sucesiones
[b]Sucesión[/b]: Una sucesión es una función definida de [math]ℕ→ℝ[/math] que se acostumbra a denotar por [math]a_n[/math] en lugar de [math]f\left(n\right)[/math], así: [math]a_n∈ℝ,∀n∈ℕ[/math][br][math]a_n[/math]: se llama término n-ésimo o término de lugar n.[br][math]a_1[/math]: es el primer término de la sucesión.[br][math]a_k[/math]: es el k-ésimo término de la sucesión.[br][br][b]Términos de una sucesión:[/b] Dada la sucesión [math]a_1,a_2[/math], … , [math]a_n[/math] , su k–ésimo término es [math]a_k[/math] , el [br]siguiente término es [math]a_{k+1}[/math] también llamado sucesor, el anterior al k–ésimo término es [math]a_{k-1}[/math][br]también llamado antecesor.[br][br][b]Formación de una sucesión:[/b] las sucesiones se pueden representar a través de un término [br]general, o bien de manera recursiva. Ambos conceptos representan de manera clara el [br]comportamiento de la sucesión, pero es mucho mejor solo tener una expresión que dependa de [br]la posición en la que me encuentro, más que de su término anterior.[br][br][b]Representación gráfica de una sucesión:[/b] Las sucesiones se pueden representar de manera [br]gráfica en los reales, ya que son funciones de los naturales a los reales. Por lo que podemos [br]realizar una gráfica de la sucesión. Por ejemplo, sea la sucesión anterior, [math]a_n=2n−1,[/math] entonces [br]su grafica será de la siguiente manera.[br][br][br]
[b]Monotonía de una sucesión: [/b]
Obsérvese que la única diferencia entre sucesión creciente y estrictamente creciente es que en [br]la segunda la desigualdad debe cumplirse necesariamente mientras que en las crecientes puede [br]haber igualdad entre términos sucesivos.[br][br][b]Una sucesión {[/b][math]a_n[/math][b]} es monótona decreciente si:[/b][br][br]
[b]Convergencia de una sucesión[br][/b]Estudiar la convergencia de una sucesión consiste en investigar a qué valor tiende el término [br]genérico de la misma cuando [math]n→∞.[/math][br]Si tiende a un número finito [math]l[/math]la sucesión se dice convergente, si tiende al "∞" o no existe el [br]número [math]l[/math], la sucesión se dice divergente.[br]Definición formal: Si los valores de [math]a_n[/math] se pueden hacer tan cerca como queramos a [math]L[/math] tomando [br]valores de [math]n[/math] suficientemente cerca de ∞ (tan grandes como queramos), entonces escribimos:[br]
Definición de límites
Definición de límites
[b]Límites[/b][br]El límite de una función se puede definir como el límite de [math]f(x)=L,L∈ℝ[/math], esto cuando "x" [br]tiende a un valor "a", siempre que sea posible hallar para cada ocasión un "x" cerca de "a" [br]de tal manera que el valor de [math]f(x)[/math] sea cercano a "L" [br][justify][img]https://www.matesfacil.com/BAC/limites/concepto/T0.png[/img][br]Otra forma de definir el límite seria: Un límite es una magnitud a la que se acerca [br]progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes.[br][b]Ejemplo:[/b] Dada la función [math]y=f\left(x\right)=2x−1[/math], veamos que sucede cuando la variable x se [br]aproxima a un valor dado, que llamaremos "a", no nos interesa lo que sucede exactamente [br]en "a". Analicemos a que valor se acerca la función [math]f\left(x\right)=2x-1[/math] cuando x se acerca a 2, [br]sin importarnos que sucede en [math]x=2.[/math][br][br][/justify]
Límite de una sucesión
Una secuencia {[math]a_n[/math]} converge a un número real[math]L[/math] si para todo [math]ε>0,[/math] existe un entero [math]N[/math] tal [br]que [math]|a_n−L|<[/math] [math]ε[/math] si [math]n\ge N[/math]. El número[math]L[/math] es el límite de la secuencia y escribimos
en este caso, decimos que la secuencia {[math]a_n[/math]} es una secuencia convergente. Si una secuencia no converge, es una secuencia divergente y decimos que el límite no existe. Observamos que la convergencia o divergencia de una secuencia {[math]a_n[/math]} depende solo de lo que sucede con los términos [math]a_n[/math] cuando [math]n→∞[/math]. Por lo tanto, si un número finito de términos [math]b_1,b_2[/math], …, [math]b_n[/math] se colocan antes de [math]a_1[/math] para crear una nueva secuencia. [math]b_1,b_2,[/math]... [math]b_n,[/math] al a2, .... , [br]esta nueva secuencia convergerá si {[math]a_n[/math]} converge y divergirá si {[math]a_n[/math]} diverge. Además, si la [br]secuencia {[math]a_n[/math]} converge a [math]L[/math], esta nueva secuencia también convergerá a [math]L[/math].[br]
Si una secuencia {[math]a_n[/math]} no es convergente, decimos que es una secuencia divergente. En la definición informal del límite de una secuencia, usamos los términos “arbitrariamente cerca” y “suficientemente grande”. Aunque estas frases ayudan a ilustrar el significado de una secuencia convergente, son algo vagas. Para ser más precisos, ahora presentamos la definición más formal de límite para una secuencia