Lernpfad: Sinusfunktion
In diesem Lernpfad lernst du die Sinusfunktion kennen. Sie kommt vor allem in der Physik häufig vor. Man kann damit z. B. Schwingungen beschreiben. Du wirst in diesem Lernpfad [list] [*]die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck wiederholen wiederholen [*]das Bogenmaß kennenlernen, [*] die Definition von Sinus und Cosinus mithilfe des Einheitskreises verallgemeinern, [*]herausfinden, wie der Graph der Sinusfunktion aussieht und welche Eigenschaften er hat. [/list] Bitte bearbeite diesen Lernpfad in den Unterrichtsstunden am 26. und 27.09. (+ Hausaufgaben). Es ist sinnvoll, wenn du ihn schrittweise von vorne nach hinten durcharbeitest. Fertige eine Dokumentation deiner Arbeit an (im folgenden als Doku oder Lerntagebuch bezeichnet). Diese Dokumentation kann digital (in Goodnotes) oder analog auf Papier sein. Übernimm bitte Merksätze, Abbildungen (z. B. als Screenshots), Formeln und Übungen, wenn du dazu aufgefordert wirst. Du darfst gern auch mehr übernehmen, wenn es dir hilft. Ihr dürft natürlich gern zusammenarbeiten und euch gegenseitig unterstützen. Es sollte aber jeder eine eigene Dokumentation anfertigen. Bei Fragen kannst du dich gern (z. B. über den Schulmanager) bei mir melden. [b]ABGABE DER DOKUMENTATION: spätestens Dienstag nach den Herbstferien [/b] Nach den Herbstferien geht es dann um die Transformation der Sinusfunktion. Viel Spaß beim Erarbeiten, Verstehen und Üben.
Table of Contents
- Grundlagen: Sinus, Cosinus, Tangens im Dreieck
- Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
- Grundlagen: Der Einheitskreis und das Bogenmaß eines Winkels
- Einheitskreis
- Bogenmaß eines Winkels
- Übungen: Bogenmaß und Gradmaß umrechnen
- Sinus und Cosinus am Einheitskreis
- Sinus und Cosinus am Einheitskreis
- Übungen zum Einheitskreis
- Erweiterung des Sinus auf alle reellen Zahlen
- Die Sinusfunktion
- Die Sinusfunktion für Winkel zwischen 0° und 360°
- Die Sinusfunktion für alle reellen Zahlen
- Besondere Werte der Sinusfunktion
Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Aufgabe:
Bearbeite hier die folgenden Aufgaben, um dein Grundlagenwissen zu "Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck" aus der Sekundarstufe I zu überprüfen. Falls du dich nicht mehr so gut erinnerst, recherchiere im Internet oder schau in deinen alten Unterlagen nach. (Du kannst bei Bedarf z. B. folgende Seite nutzen: [url=https://www.gut-erklaert.de/mathematik/winkelfunktionen-sinus-kosinus-tangens.html]Winkelfunktionen: Sinus, Kosinus und Tangens (gut-erklaert.de)[/url])[br][br][b]Notiere die Definition für den Sinus und den Cosinus (als Quotient mit Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse) in deiner Doku und nimm dazu das Beispiel auf, dass du als Hausaufgabe herausgesucht hast. [/b]
Gegeben ist folgendes Dreieck.
Kreuze alle Aussagen an, die auf das oben abgebildete rechtwinkelige Dreieck zutreffen!
Gegeben ist folgendes Dreieck.
Kreuze alle Aussagen an, die auf das oben abgebildete Dreieck zutreffen.
Gegeben ist folgendes Dreieck.
Kreuze alle Aussagen an, die auf das oben abgebildete Dreieck zutreffen!
Gegeben ist das folgende gleichschenkelige Dreieck, in dem die Höhen auf die Seiten c und auf a eingezeichnet sind.
Im oben abgebildeten Dreieck gilt a=b, da es gleichschenkelig ist. Kreuze alle richtigen Aussagen an.
Einheitskreis
Für die folgenden Überlegungen brauchen wir den sogenannten "Einheitskreis". Das ist einfach ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Ursprung eines Koordinatensystems liegt und der den Radius 1 hat. [br]Du siehst ihn oben in der Abbildung. [br][br]Aufgabe: [br]Notiere dir, was ein Einheitskreis ist, in der Doku und begründe, dass der Einheitskreis den Umfang 2[math]\pi[/math] besitzt!
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Aufgabe:
Lies dir folgende Informationen durch und bearbeite den unten fett abgedruckten Arbeitsauftrag.
Informationen
Bisher haben wir Sinus, Cosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken angewendet. Dabei war der Winkel [math]\alpha[/math], auf den wir Sinus, Cosinus oder Tangens angewendet haben, immer zwischen 0° und 90° groß. [br]Nun möchten wir Sinus, Cosinus und Tangens auch für Winkel definieren, die größer als 90° sind. Dafür verwendet man den Einheitskreis. [br]
Lässt man nun einen Punkt auf dem Einheitskreis entlanglaufen, so entstehen rechtwinkelige Dreiecke (siehe dynamische Abbildung unten). Dabei liegt der rechte Winkel immer an der x-Achse und die Hypotenuse wird aus dem Radius des Einheitskreises gebildet. Die Länge der Hypotenuse ist also immer 1.
Bewegt man in der dynamischen Abbildung P auf dem Kreisviertel im ersten Quadranten, so ergibt sich immer ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Innenwinkel [math]\alpha[/math]. Da die Hypotenuse dem Radius des Einheitskreises entspricht und somit die Länge 1 besitzt, gilt immer: [br][br][math]sin\left(\alpha\right)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{Gegenkathete}{1}=Gegenkathete=y-Koordinate[/math] [i]von P (blaue Strecke)[br][/i][br][math]cos\left(\alpha\right)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}=\frac{Ankathete}{1}=Ankathete=x-Koordinate[/math][i] von P (rote Strecke)[br][br][/i]Bewegt man P aus dem ersten Quadranten heraus, so ist [math]\alpha[/math] größer als 90° und kein Innenwinkel des Dreiecks mehr. Die obige Definition lässt man jedoch weiterhin gelten: [br][math]sin\left(\alpha\right)=y-Koordinate[/math] von P[br][math]cos\left(\alpha\right)=x-Koordinate[/math]von P[br]Auf diese Weise lassen sich Werte für [math]sin\left(\alpha\right)[/math] und [math]cos\left(\alpha\right)[/math] definieren, auch wenn [math]\alpha[/math] größer ist als 90°. Diese Werte können nun - anders als vorher - auch negativ sein, wenn die x- oder y-Koordinate im negativen Bereich liegt.[br][br][b][br]Wir können nun also mithilfe des Einheitskreises Sinus und Cosinus für alle Werte zwischen 0° und 360° angeben. [br]- Vollziehe das nochmal an der folgenden Abbildung nach![br]- Zeichne oder kopiere einen (ausreichend großen!) Einheitskreis in deine Doku und erkläre daran (in Stichpunkten) die Definition von Sinus und Kosinus![br][/b][br]
Die Sinusfunktion für Winkel zwischen 0° und 360°
Nun wollen wir den Sinus als Funktion betrachten. Wir ordnen mit der Sinusfunktion jedem Winkel [math]\alpha[/math] seinen Sinus, also [math]sin\left(\alpha\right)[/math] zu. [br]Betrachte dazu die folgende Graphik. Vergrößere am Schieberegler den Winkel [math]\alpha[/math] und beobachte, was im Einheitskreis und im Koordinatensystem passiert und wie das zusammen passt.[br](Du musst nichts notieren).
Wir haben nun den Sinus ja nicht nur für Winkel zwischen 0° und 360° definiert, sondern für alle reellen Zahlen. Überlege dir, wie der Graph wohl im negativen Bereich und oberhalb von 360° weitergehen könnte. [br]Darum geht es im nächsten Schritt. [br][br]
Optional
Falls dir der Zusammenhang zwischen Einheitskreis und Winkelfunktionen noch nicht ganz klar ist, könnte dir folgendes [b][u][url=https://www.youtube.com/watch?v=ySrU6_cjQ78&t=23s]Video[/url][/u][/b] behilflich sein.