[right][size=50][i][b][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000]geogebra-books[/color] [url=https://www.geogebra.org/m/xtueknna][color=#0000ff][u]geometry of some complex functions[/u][/color][/url] [color=#ff7700]october 2021[/color][/size][/b][/i][/size][/right][br][size=85]Ein [/size][color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color][size=85] besteht aus allen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], welche einen vorgegebenen [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] in einem [br]vorgegebenen [color=#0000ff][i][b]Punkt[/b][/i][/color] - dem [color=#0000ff][i][b]Grundpunkt [/b][/i][/color]des [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color] - [i][b]berühren[/b][/i].[br][br]Die [color=#ff00ff][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] zur [math]x[/math]-Achse sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] ein solches [color=#ff0000][i][b]parabolisches[/b][/i][/color] "[color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]": Die "[color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]" sind hier [color=#ff00ff][i][b]Geraden[/b][/i][/color],[br]welche durch den Punkt [math]\infty[/math] gehen und sich dort berühren. [br]Dies erkennt man am ehesten mit Hilfe der [color=#900000][i][b]stereographischen Projektion[/b][/i][/color].[br]Jedes [color=#ff00ff][i][b]Parallelen-Büschel[/b][/i][/color] ist ein [color=#ff00ff][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit [math]\infty[/math] als [color=#0000ff][i][b]Grundpunkt[/b][/i][/color].[br][br]Eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color], welche die [color=#0000ff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [math]0,1,\infty[/math] auf drei verschiedene [color=#0000ff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [math]w_0,w_1,w_{\infty}[/math] abbildet, transformiert[br]das [color=#ff00ff][i][b]Büschel[/b][/i][/color] der zur [math]x[/math]-Achse [color=#ff00ff][i][b]parallelen Geraden[/b][/i][/color] in ein [color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color], welches die [color=#ff00ff][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] auf [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] [br]abbildet, die den Kreis durch [math]0,1,\infty[/math] in [math]\infty[/math] berühren.[br]Umgekehrt läßt sich jedes [color=#ff0000][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] durch eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [br]in ein [color=#ff00ff][i][b]Parallelen-Büschel[/b][/i][/color] transformieren.[/size]

[size=85]Allgemein sind [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und deren [color=#9900ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] - also die Kurven, [br] welche die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#ff0000][i][b]Büschels[/b][/i][/color] unter [i][b]konstantem[/b][/i] Winkel schneiden -[br]charakterisiert durch eine [color=#38761D][i][b]Differential-Gleichung[/b][/i][/color] und damit durch ein [color=#274E13][i][b]Vektorfeld[/b][/i][/color] des Typs[br][/size][list][*][math]g'=c\cdot\left(g-f_1\right)\cdot\left(g-f_2\right)\mbox{ mit }f_1,f_2,c\in\mathbb{C}[/math].[br][/*][/list][size=85]Hierbei ist die [color=#274E13][i][b]komplexe Lösungsfunktion[/b][/i][/color] [math]g=g(z)[/math] analytisch, bzw. meromorph. [br]Die Nullstellen [math]f_1,f_2[/math], die wir [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [/b][/i][/color]nennen, können zusammenfallen ( - dann liegt ein [color=#ff0000][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] vor - ).[br]Man kann die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] eines [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschels[/b][/i][/color] dynamisch deuten als [i][b]Kreiswellen[/b][/i], die sich von einer [color=#00ff00][i][b]Quelle[/b][/i][/color] aus [br]in Richtung der [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] zur [color=#00ff00][i][b]Senke[/b][/i][/color] bewegen. [br][color=#00ff00][i][b]Quelle[/b][/i][/color] und [color=#00ff00][i][b]Senke[/b][/i][/color] sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] der [color=#980000][i][b]Wellen-Bewegung[/b][/i][/color].[br]Wir nennen diese [color=#274E13][i][b]Vektorfelder[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]linear[/b][/i][/color]. [br]Zur Erklärung verweisen wir auf die Darstellung der Möbiusgruppe durch die komplexe spezielle orthogonale Gruppe [b]SO[/b]([b]3[/b],[math]\mathbb{C}[/math])[br]und deren [b]LIE[/b]-Algebra [math]\mathbf{\mathcal{so}\left(3,\mathbb{C}\right)[/math]. [math]\hookrightarrow[/math] [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color], speziell das Kap. [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168949][color=#0000ff][u][i][b]Kreisbüschel und lineare Vektorfelder[/b][/i][/u][/color][/url][br][br]Überlagert man 2 solcher [color=#274E13][i][b]Vektorfelder[/b][/i][/color], so entstehen "[color=#ff7700][i][b]quadratische Vektorfelder[/b][/i][/color]", deren [color=#9900ff][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] [color=#6aa84f][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [br][color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte [/b][/i][/color]oder [color=#6aa84f][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sein können. [br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind jeweils die Nullstellen der [color=#274E13][i][b]linearen Vektorfelder[/b][/i][/color].[br]Die [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color][/size] sind in diesen Fällen [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] der sich schneidenden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] aus den beiden [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br][br]links: [br][math]\hookrightarrow[/math] [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]möbiusebene[/url][/b][/i][/u][/color][br][math]\hookrightarrow[/math] [/size][size=85][size=85][color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][/size] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/fzq79drp]Leitlinien und Brennpunkte[/url][/b][/i][/u][/color][br][br][/size]