Obiettivo[br]Capire che moltiplicare per un numero complesso A equivale a:[br][list][*]una [b]rotazione[/b][br][/*][*]e una [b]dilatazione[/b][/*][/list]Al fine di far capire meglio cosa succede quando si moltiplica un numero complesso [math]z[/math] per un complesso dato A si fa la seguendo procedura:[br]1. scelgo tre numeri complessi [math]z_1[/math], [math]z_2[/math] e [math]z_3[/math];[br]2. ne calcolo modulo e direzione;[br]3. visualizzo i tre vettori corrispondenti;[br]4. trovo modulo e direzione del fattore moltiplicativo [math]A[/math];[br]5. visualizzo il triangolo che ha come vertici i tre numeri complessi [math]z_1[/math], [math]z_2[/math] e [math]z_3[/math][br]6. moltiplico i tre numeri complessi [math]z_1[/math], [math]z_2[/math] e [math]z_3[/math] per il fattore moltiplicativo [math]A[/math] (numero complesso) ottenendo i vettori[math]z'_1[/math], [math]z'_2[/math] e [math]z'_3[/math];[br]7. visualizzo il triangolo che ha come vertici i tre numeri complessi [math]z'_1[/math], [math]z'_2[/math] e [math]z'_3[/math]. [br]Vogliamo scoprire che relazione c'è tra i due triangoli.[br]
Siano dati i seguenti numeri complessi:[br][math]z_1=1+i[/math][br][math]z_2=2[/math][br][math]z_3=-1+i[/math][br]Calcola e riporta sotto il loro modulo e il loro argomento ricordando che [math]\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2};....\longrightarrow\Theta=arctg\left(\frac{b}{a}\right)[/math] ;[br][math]\left|z_1\right|=....\longrightarrow\Theta1=...[/math][br][math]\left|z_2\right|=....\longrightarrow\Theta_2=...[/math][br][math]\left|z_3\right|=....\longrightarrow\Theta_3=...[/math][br][br]I tre vettori hanno lunghezze diverse?[br]Che direzione hanno?
Nella barra di inserimento di GeoGebra [b]inserisci i numeri complessi[/b]:[br][math]z_1=1+i[/math][br][math]z_2=2[/math][br][math]z_3=-1+i[/math][br]GeoGebra li rappresenta automaticamente come punti.[br][b]Traccia i vettori[/b] corrispondenti a tali punti con i comandi:[br][math]vettore\left(\left(0,0\right),z_1\right)[/math][br][math]vettore\left(\left(0,0\right),z_2\right)[/math][br][math]vettore\left(\left(0,0\right),z_3\right)[/math][br]Determina [b]modulo[/b] e [b]argomento[/b] (angolo) con i seguenti comandi:[br][math]Length\left(z_1\right)[/math][br][math]Angle\left(z_1\right)[/math][br](ripetere per [math]z_2[/math]e per [math]z_3[/math])[br]Traccia il [b]triangolo iniziale[/b] con il comando:[br][math]Polygon\left(z_1,z_2,z_3\right)[/math]
[*]Che tipo di triangolo è?[/*][*]Quanto sono lunghi i lati? (si può usare [math]Distance(z_1,z_2)[/math])[/*]
Scegliamo come numero complesso moltiplicatore un numero semplice del tipo [br][math]A=1+i[/math][br]stabilisci il suo modulo e il suo argomento (angolo) analogamente a quanto fatto prima:[br][math]\left|A\right|=...[/math][br][math]\Theta_A=...[/math]
Svolgi le moltiplicazioni suggerite tra i vettori espressi in forma algebrica:[br][math]z^'_1=A\cdot z_1[/math];[br][math]z^'_2=A\cdot z_2[/math][br][math]z^'_3=A\cdot z_3[/math][br]Calcola e riporta sotto il loro modulo e il loro argomento ricordando che [math]\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2};....\longrightarrow\Theta=arctg\left(\frac{b}{a}\right)[/math] ;[br][math]\left|z^'_1\right|=....\longrightarrow\Theta^'1=...[/math][br][math]\left|z^'_2\right|=....\longrightarrow\Theta^'_2=...[/math][br][math]\left|z^'_3\right|=....\longrightarrow\Theta^'_3=...[/math][br][br]I tre vettori hanno lunghezze diverse rispetto ai vettori corrispondenti ai numeri complessi [math]z_1[/math], [math]z_2[/math] e [math]z_3[/math]?[br]Che direzione hanno rispetto a quelle dei vettori corrispondenti ai numeri complessi [math]z_1[/math], [math]z_2[/math] e [math]z_3[/math]?
[math][/math]Poni nella barra di inserimento anche il numero complesso che corrisponde al [b]moltiplicatore[/b] scelto:[br][math]A=1+i[/math][br]Determina [b]modulo[/b] e [b]argomento[/b] (angolo) con i seguenti comandi:[br][math]Lengthz\left(A\right)[/math][br][math]Angle\left(\Theta_A\right)[/math][br][br]Inserisci nella barra inserimento le moltiplicazioni suggerite tra i vettori:[br][math]z'_1=A\cdot z_1[/math][br][math]z'_2=A\cdot z_2[/math][br][math]z'_3=A\cdot z_3[/math][br][br][b]Traccia i vettori[/b] corrispondenti a tali punti con i comandi:[br][math]vettore\left(\left(0,0\right),z'_1\right)[/math][br][math]vettore\left(\left(0,0\right),z'_2\right)[/math][br][math]vettore\left(\left(0,0\right),z'_3\right)[/math][br]Determina [b]modulo[/b] e [b]argomento[/b] (angolo) con i seguenti comandi:[br][math]Length\left(z'_1\right)[/math][br][math]Angle\left(z'_1\right)[/math][br](ripetere per [math]z'_2[/math] e per [math]z'_3[/math])[br]Traccia il [b]triangolo nuovo[/b] con il comando:[br][math]Polygon\left(z'_1,z'_2,z'_3\right)[/math][br][br]
Sempre nella stessa finestra di GeoGebra di prima, con il comando:[br][math]Distance(z_1,z_2)[/math][br][math]Distance(z'_1,z'2)[/math][br]individua e scrivi sotto tali distanze che rappresentano un lato prima della trasformazione e dopo la trasformazione.[br]Ripeti tali comandi per determinare altri lati corrispondenti dei due triangoli.[br]1) I lati sono cambiati? [br]2) Di quanto?[br]3) ) I lati hanno subito tutti la stessa dilatazione?[br]4) Le loro lunghezze in che relazione stanno con il modulo del moltiplicatore [math]A[/math]?
Sempre nella stessa finestra di GeoGebra di prima, con gli opportuni comandi, puoi visualizzare gli angoli tra due lati corrispondenti dei due triangoli:[br][math]Angle(z_1,z_2)[/math][br][math]Angle(z'_1,z'2)[/math][br]individua e scrivi sotto tali angoli che rappresentano un angolo tra due lati prima della trasformazione e dopo la trasformazione.[br]1)Gli angoli sono cambiati?[br]2) come si definiscono triangoli (prima della trasformazione e dopo) che godono di tali proprietà?
1) Il triangolo sembra ruotato?[br]2) Di quanto?[br][br] Suggerimento:[br]usando sempre la stessa finestra di Geogebra, confrontare gli angoli dei vettori prima di moltiplicarli per il fattore moltiplicativo [math]A[/math] e dopo; a tal proposito puoi inserire, per esempio, il seguente comando:[br][math]Angle(z'_1)-Angle(z_1)[/math][br]3) in che relazione è l'angolo tra i due vettori trasformati dal fattore moltiplicativo rispetto all'argomento(angolo) di quest'ultimo?[br]
Caratterizza sotto, i tipi di trasformazione geometrica che ha subito il triangolo trasformato dal fattore moltiplicativo [math]A[/math]
Caratterizza sotto, i tipi di trasformazione geometrica che subisce un numero complesso trasformato dal fattore moltiplicativo [math]A[/math][br](specifica la trasformazione del suo modulo e del suo argomento in relazione alle caratteristiche del modulo e argomento del fattore moltiplicativo [math]A[/math])
In una nuova finestra di Geogebra inserita sotto, crea un fattore moltiplicativo [math]A[/math] variabile inserendo due opportuni slider: [br][math]a=Slider(-3,3)[/math][br][math]b=Slider(-3,3)[/math][br][math]A=a+b\cdot i[/math][br] Ripeti tutte le operazioni fatte precedentemente e descrivi cosa succede al triangolo e al suo trasformato quando il fattore moltiplicativo [math]A[/math] cambia (crea triangoli dinamici).[br]
Fai sotto le tue considerazioni sull'attività svolta.