Quando temos uma equação polinomial, podemos usar as técnicas de fatoração para encontrar as soluções. Mas e se a equação não for polinomial? Por exemplo, quais são as soluções da equação [math][br]x-6=\sqrt{x}[br][/math]? A ideia é que vamos aplicar uma série de operações na equação para transformá-la em uma outra equação que saibamos resolver, uma equação polinomial, por exemplo. [br][br]No caso acima, podemos tentar [i]elevar ambos os membros da equação ao quadrado[/i]:[br][center][math][br]x-6=\sqrt{x} \Rightarrow (x-6)^2=(\sqrt{x})^2 \Rightarrow x^2-13x+36=0,[br][/math][/center][br]onde o símbolo [math]\Rightarrow[/math] significa "implica", ou "o lado direito é uma consequência do lado esquerdo". Essa operação é possível pois claramente [math]a=b\Rightarrow a^2=b^2[/math]. Calculando as raízes de [math]x^2-13x+36=0[/math], vemos facilmente que ou [math]x=4[/math] ou [math]x=9[/math]. [i]Mas [math]x=4[/math] não é uma solução da equação original[/i] pois[br][center][math][br]4-6=-2\neq 2=\sqrt{4}.[br][/math][/center][br]Ou seja, [i]toda solução de [math]x-6=\sqrt{x}[/math] é uma solução de [math]x^2-13x+36=0[/math], mas o contrário não vale necessariamente, nem toda solução de [math]x^2-13x+36=0[/math] é uma solução de [math]x-6=\sqrt{x}[/math][/i]. Essas soluções extras são chamadas de [i]raízes espúrias[/i].[br][br] [br]Mas por que isso acontece? O problema é que [math]a=b\Rightarrow a^2=b^2[/math], [i]mas a recíproca não é verdadeira[/i], ou seja, nem sempre [math]a^2=b^2 \Rightarrow a=b[/math], como é fácil ver para [math]a=1[/math] e [math]b=-1[/math], [math](-1)^2=1=1^2[/math] mas [math]1\neq -1[/math]. O que devemos fazer então? É simples: agora que sabemos que a operação de elevar o quadrado pode introduzir raízes espúrias, [i]devemos sempre verificar se as soluções encontradas satisfazem a equação inicial.[br][br][/i]Note que pode acontecer da operação de elevar o quadrado não introduzir raízes espúrias. Por exemplo, considere a equação [math]x+2=\sqrt{9x-2}[/math]. Elevando ao quadrado, segue que[br][center][math][br]x+2=\sqrt{9x-2} \Rightarrow (x+2)^2=(\sqrt{9x-2})^2 \Rightarrow x^2-5x+6=0.[br][/math][/center][br]As soluções de [math]x^2-5x+6=0[/math] são [math]x=2[/math] e [math]x=3[/math], que também são as soluções de [math] x+2=\sqrt{9x-2}[/math]. Neste caso, dizemos que [math]x^2-5x+6=0[/math] e [math] x+2=\sqrt{9x-2}[/math] são [i]equações equivalentes[/i] pois têm as mesmas soluções e podemos escrever[br][center][math][br]x+2=\sqrt{9x-2} \Leftrightarrow x^2-5x+6=0.[br][/math][/center][br][br][b]Moral da história:[/b] pode acontecer das operações que aplicamos para tentar resolver uma equação (multiplicar ou dividir ambos os membros por um mesmo valor, elevar ambos os membros a uma mesma potência etc.) não resulte em uma equação equivalente. Neste caso, devemos sempre verificar se as soluções encontradas satisfazem a equação original. [br]

Resolva as seguintes equações:[br][list=1][br][*][math]\frac{2}{2-x}+\frac12=\frac{4}{2x-x^2}[/math][/*][br][*][math]\frac{x-2}{\sqrt{2x-7}}=\sqrt{x-4}[/math][/*][br][*][math]\sqrt{2x+5}=8-\sqrt{x-1}[/math][/*][br][*][math]|2x-3|=5[/math][/*][br][/list]