Uno de los aspectos más llamativos del mosaico es su gran simetría. Cuando un elemento se repite a través de rotaciones, decimos que tiene [b]simetría rotacional[/b].[br]Fíjate en el applet que hay a continuación y describe cuáles son los elementos con simetría rotacional. Pulsando el botón "play" abajo a la izquierda te resultará más fácil comprobarlo.[br][br]Intenta describir esos elementos utilizando tu vocabulario matemático. El ángulo de giro no es el mismo para todos ellos. Acuérdate de indicar, para cada uno, cuál es el valor de ese ángulo.

Al trazar las circunferencias, debemos asegurarnos de que sean tangentes entre sí, de manera que estén pegadas unas a otras, pero sin solaparse. Veamos cómo hacer la construcción y, de paso, responder a algunas cuestiones matemáticas. No hay problema si no conoces cómo responder a todas. Podrás terminar la actividad igualmente. Intenta dar la mejor respuesta posible en el recuadro que hay a continuación.[br][br]Podríamos pensar que son todas semicircunferencias y para dibujarlas, trazar la que ocupa la parte central de cada lado, dividiendo el lado en partes iguales y eligiendo las necesarias para trazar la semicircunferencia. Sin embargo, este método no funcionará. [br][br][b][Cuestión 1][/b] Indica debajo cuál crees que será el problema de este método.[br]Debemos por tanto, pasar a [b]razonar matemáticamente[/b]. Para ello, puede ser bueno que te fijes en el applet anterior y lo manipules un poco, usando las diferentes casillas de visualización.[br][br]Como sabemos que hay simetría rotacional, basta con dibujar una de las circunferencias. Las demás se dibujan haciendo giros. Además, ya hemos calculado más arriba qué ángulo debemos ir girándola.[br][br]Fijándonos bien, las circunferencias deben ser tangentes a los radios (marcar la casilla en el applet).[br][b][Cuestión 2][/b] Razona matemáticamente por qué deben ser tangentes a los radios, y cómo podemos hacer para dibujar esos radios.[br][br]Una vez dibujados, podemos trazar, por ejemplo, la circunferencia que ocupa la parte central de un lado.[br][b][Cuestión 3][/b] Fijándonos en el modelizado, podemos encontrar fácilmente dos puntos por los que pasa. ¿Cuáles son?[br][size=85]Pista: usa los radios y la circunferencia inscrita en el octógono[/size].[br][br]El centro de la circunferencia no está en el lado del octógono. Para encontrarlo, dibujamos las correspondientes perpendiculares a los radios que corresponden a la circunferencia central, pasando por los puntos anteriores. La intersección de esas dos rectas es el centro de la circunferencia. (Puedes visualizar este proceso marcando la casilla "Centro Exterior" del applet).[br]Si nos fijamos bien, basta con dibujar una de esas perpendiculares, porque podemos ayudarnos de otro de los radios para encontrar el centro.[br][b][Cuestión 4][/b] Describe las propiedades matemáticas que justifican que ese precisamente es el centro de la circunferencia, y cuál es ese otro radio que podría ayudarnos a encontrar el centro, y por qué.[br][list][*]Con esto, podemos ya trazar la circunferencia situada en "el centro" de uno de los lados, que además queda dividida a la mitad por otro de los radios. [/*][*]Así, podemos también colorear la parte del círculo correspondiente.[/*][*]Podemos encontrar todas las demás circunferencias de la zona exterior mediante rotaciones de esta.[br][/*][/list][br]Para la siguiente capa de circunferencias/escamas, podemos actuar de manera similar, trazando una de las circunferencias.[br][b][Cuestión 5][/b] ¿Cuáles son, en esta ocasión, los dos puntos conocidos?[br][size=85]Pista: vuelve a pensar en los radios, y en las circunferencias que trazamos para la capa exterior[/size].[br][br]Una vez tengamos esa capa intermedia de escamas, el procedimiento análogo nos dará la capa interior.[br][b][Cuestión 6][/b] Una vez terminado este proceso, ¿cómo podemos elegir el radio para trazar la circunferencia interior? [br]Dentro de esa circunferencia, nuestros artistas dibujarán la cabeza de Medusa... pero ya no será con elementos geométricos.

También podemos razonar que, en realidad, una vez hecha la primera corona de escamas, todas las demás coronas se pueden obtener mediante [b]homotecias[/b] (el mismo dibujo, pero a una [b]escala[/b] diferente) suyas, junto con una rotación.[br][b][Cuestión 7][/b] Justifica el por qué de esta afirmación.[br][br]El ángulo de la rotación es fácil de calcular; pero el problema es encontrar cuál debería ser la escala de la homotecia. A ojo, podría parecer que la circunferencia interior es de radio la mitad de la inscrita en el octógono, pero si lo contrastamos con la construcción, vemos que no es así. Vamos a investigar la razón que hay entre los radios de las circunferencias que forman las escamas. [br][br]Marca la casilla "Circ. Extra" y mueve, arrastrando, los círculos de colores que aparecen, para determinar por dónde deberían pasar las circunferencias que forman la corona de escamas central, y también la interior.[br]Ojo, que parece que estas circunferencias de las escamas de la parte central serán tangentes a la circunferencia inicial, pero no lo son (fíjate bien, con el applet a pantalla completa).[br][b][Cuestión 8][/b] Utilizando la medida de la distancia entre alguno de los puntos y los radios, indica qué proporción deberíamos utilizar para encontrar la razón de esa homotecia.[br][br][b][Cuestión 9][/b] (Podrás responder solo si tienes conocimientos de [b]trigonometría[/b]). [br]Demuestra que el valor exacto de la razón de semejanza entre los radios de una corona de escamas y la siguiente es [math]1-sen\left({\frac{\pi}{16}}\right)[/math].[br][size=85]Pista: compara los radios de las circunferencias usadas para la corona exterior de las escamas y la siguiente. Para ello, utiliza las tangencias entre las escamas y los radios, para dibujar dos triángulos rectángulos semejantes (uno para las escamas exteriores y otro para las medianas) y aplica la definición del seno, para el ángulo entre dos de los radios, que forman los lados de esos triángulos[/size].[br]