Al trazar las circunferencias, debemos asegurarnos de que sean tangentes entre sí, de manera que estén pegadas unas a otras, pero sin solaparse. Veamos cómo hacer la construcción y, de paso, responder a algunas cuestiones matemáticas. No hay problema si no conoces cómo responder a todas. Podrás terminar la actividad igualmente. Intenta dar la mejor respuesta posible en el recuadro que hay a continuación.
Podríamos pensar que son todas semicircunferencias y para dibujarlas, trazar la que ocupa la parte central de cada lado, dividiendo el lado en partes iguales y eligiendo las necesarias para trazar la semicircunferencia. Sin embargo, este método no funcionará.
[Cuestión 1] Indica debajo cuál crees que será el problema de este método.
Debemos por tanto, pasar a
razonar matemáticamente. Para ello, puede ser bueno que te fijes en el applet anterior y lo manipules un poco, usando las diferentes casillas de visualización.
Como sabemos que hay simetría rotacional, basta con dibujar una de las circunferencias. Las demás se dibujan haciendo giros. Además, ya hemos calculado más arriba qué ángulo debemos ir girándola.
Fijándonos bien, las circunferencias deben ser tangentes a los radios (marcar la casilla en el applet).
[Cuestión 2] Razona matemáticamente por qué deben ser tangentes a los radios, y cómo podemos hacer para dibujar esos radios.
Una vez dibujados, podemos trazar, por ejemplo, la circunferencia que ocupa la parte central de un lado.
[Cuestión 3] Fijándonos en el modelizado, podemos encontrar fácilmente dos puntos por los que pasa. ¿Cuáles son?
Pista: usa los radios y la circunferencia inscrita en el octógono.
El centro de la circunferencia no está en el lado del octógono. Para encontrarlo, dibujamos las correspondientes perpendiculares a los radios que corresponden a la circunferencia central, pasando por los puntos anteriores. La intersección de esas dos rectas es el centro de la circunferencia. (Puedes visualizar este proceso marcando la casilla "Centro Exterior" del applet).
Si nos fijamos bien, basta con dibujar una de esas perpendiculares, porque podemos ayudarnos de otro de los radios para encontrar el centro.
[Cuestión 4] Describe las propiedades matemáticas que justifican que ese precisamente es el centro de la circunferencia, y cuál es ese otro radio que podría ayudarnos a encontrar el centro, y por qué.
- Con esto, podemos ya trazar la circunferencia situada en "el centro" de uno de los lados, que además queda dividida a la mitad por otro de los radios.
- Así, podemos también colorear la parte del círculo correspondiente.
- Podemos encontrar todas las demás circunferencias de la zona exterior mediante rotaciones de esta.
Para la siguiente capa de circunferencias/escamas, podemos actuar de manera similar, trazando una de las circunferencias.
[Cuestión 5] ¿Cuáles son, en esta ocasión, los dos puntos conocidos?
Pista: vuelve a pensar en los radios, y en las circunferencias que trazamos para la capa exterior.
Una vez tengamos esa capa intermedia de escamas, el procedimiento análogo nos dará la capa interior.
[Cuestión 6] Una vez terminado este proceso, ¿cómo podemos elegir el radio para trazar la circunferencia interior?
Dentro de esa circunferencia, nuestros artistas dibujarán la cabeza de Medusa... pero ya no será con elementos geométricos.