En esta página enunciamos el teorema del emparedado (sin demostración) y lo aplicamos para calcular el límite de la función [i]sin⁡(x)/x[/i] cuando [i]x[/i] tiende a infinito positivo.

El teorema del emparedado o del sándwich es un teorema que permite calcular el límite de funciones que se encuentran acotadas por otras dos funciones cuyos límites son iguales.[br][br]Se trata de un resultado muy intuitivo y existen varias versiones (para sucesiones, series, funciones con varias variables, etc.).[br][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/teorema-emparedado-sandwich-demostracion-limites-series-convergente-ejemplos.html][img width=278,height=183]https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/G0.png[/img][/url]

Sean [i]g[/i], [i]f[/i] y [i]h[/i] funciones definidas en el intervalo [i]I[/i] que contiene al punto [i]a[/i] tales que[br][br][img width=188,height=55]https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/T4.png[/img][br][br]Supongamos también que[br][br][img width=223,height=30]https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/T5.png[/img][br][br]Entonces,[br][br][br][img width=117,height=30]https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/T6.png[/img][br][br]Nota: las funciones pueden no estar definidas en el punto [i]a[/i].[br]Nota 2: [i]L[/i] debe ser finito.

[url=https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/E1.png][img width=147,height=48]https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/E1.png[/img][br][br][/url]Como el seno toma valores en el intervalo [−1,1],[br][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/E1-1.png][img width=151,height=22]https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/E1-1.png[/img][br][br][/url]Sólo tenemos que dividir entre [i]x[/i] en esta relación para poder aplicar el teorema.Como estamos calculando el límite cuando [i]x[/i] tiende a +infinito, podemos considerar [i]x>0[/i] y, por tanto, podemos dividir entre [i]x[/i] sin cambiar los signos de desigualdad:[br][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/E1-2.png][img width=156,height=48]https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/E1-2.png[/img][br][br][/url]Como el límite de [i]-1/x[/i] y el de [i]1/x[/i] coinciden y es igual a 0, por el teorema del emparedado, tenemos[br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/teorema-emparedado-sandwich-demostracion-limites-series-convergente-ejemplos.html][img width=147,height=48]https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/E1.png[/img][br][br][/url]Nota: No podemos aplicar este mismo razonamiento para calcular el límite cuando [i]x[/i] tiende a 0 porque los límites de las funciones utilizadas ([i]±1/x[/i]) son distintos e infinitos. No obstante, podemos calcular su límite aplicando el mismo teorema, pero con funciones distintas.[br][br]Más ejemplos, versiones y demostración en [url=https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/teorema-emparedado-sandwich-demostracion-limites-series-convergente-ejemplos.html]teorema del emparedado[/url].