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Am Beispiel der Streaming-Dienste haben Sie in GeoGebra die Entwicklung der Kundenzahlen durch Gleichungen Schritt für Schritt berechnet. [br]Sie haben bereits auch eine Übergangstabelle für das Beispiel erstellt:[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/Uebergangstabelle_ausgefuellt.png[/img][br][br]Die Berechnung der Übergangsprozesse kann (mit GeoGebra) vereinfacht werden, wenn der Prozess mithilfe von [math]Matrizen[/math] und [math]Vektoren[/math] beschrieben wird. [br]Das Erstellen und Rechnen mit Matrizen kennen Sie bereits aus [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#chapter/1070611]Kapitel III Lineare Gleichungssysteme[/url].
Beschreiben Sie, wie die abgebildete Übergangsmatrix aus der Übergangstabelle entsteht. [br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/Uebergangsmatrix.png[/img]
Die Übergangsmatrix entsteht, indem die Werte der Übergangstabelle übernommen werden. Dann geht die erste Spalte "von G" und die zweite Spalte "von H". Wohin die einzelnen Beiträge gehen, legt die entsprechende Zeile fest: In der ersten Zeile gehen Kunden "nach G", in der zweiten Zeile "nach H".
Die Kundenzahlen zu Beginn können in einem Vektor [math] \begin{pmatrix} 20.000 \\ 30.000 \end{pmatrix} [/math] dargestellt werden. [br]Auch hier soll, wie in Arbeitsblatt [url=https://www.geogebra.org/m/ysyzkgyn#material/gkdjeb7f][color=#095EBC]M3.II.5b AB LGS als Matrix-Vektor-Gleichung[/color][/url], die Gleichung [math] Matrix \cdot Vektor=Vektor [/math] zur Berechnung genutzt werden. [br][br]Für die Berechnung der Kundenzahlen nach einem Monat ergibt sich also folgende Gleichung:[br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/Uebergangsmatrix_mal_Vektor.png[/img][br]
Wie der Ausdruck [math] Matrix \cdot Vektor [/math] berechnet wird, kann auch an diesem Beispiel nochmals plausibilisiert werden. [br]Geben Sie eine Vermutung an, wie der Ausdruck [math] Matrix \cdot Vektor [/math] berechnet wird, indem sie die obere Abbildung mit der Folgenden vergleichen. Begründen Sie ihre Vermutung![br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/Kundenzahlen1Monat.png[/img]
Der erste Eintrag im Kundenzahl Vektor nach einem Monat sind die Kunden die nach einem Monat bei G sind. Diese bestehen aus zwei Teilen. Der erste Teil ist der Anteil der Kunden die "von G nach G" gehen. Dieser Teil muss mit der bisherigen Kundenanzahl von G multipliziert werden (Matrix-Eintrag 1. Zeile 1. Spalte mal 1. Vektor-Eintrag). Der zweite Teil ist der Anteil der Kunden die "von H nach G" gehen. Dieser Teil muss mit der bisherigen Kundenanzahl von H multipliziert werden (Matrix-Eintrag 1. Zeile 2. Spalte mal 2. Vektor-Eintrag). Diese zwei Kundenzahlen werden dann addiert zur neuen Kundenzahl von G nach einem Monat.[br]Es wird also die erste Zeile der Matrix mit dem Vektor skalar multipliziert.[br][br]Analoge Überlegungen führen bei Vektor H zur selben Regel.
Nachdem Sie nun den Kunden-Übergangsprozess bei den Streaming-Diensten mit Übergangsmatrix und Bestandsvektor beschrieben haben, können Sie die Kundenzahlen auch ganz einfach zur Berechnung in GeoGebra nutzen.
Führen Sie die begonnenen Berechnungen im folgenden Applet fort.[br]Geben Sie den Bestandsvektor nach 5 Monaten an.
[math]\overrightarrow{k_5} = \begin{pmatrix}12373 \\ 37627 \end{pmatrix}[/math]
[b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][color=#095EBC] Benutzerhinweise zum obigen Applet[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Einen Index können Sie in GeoGebra als Unterstrich eingeben. Für [math]k_5[/math] geben Sie [code]k_5[/code] ein.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Vorsicht, Sie dürfen die Reihenfolge von Matrix und Vektor nicht vertauschen.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man oben rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/ggb_vollbild_icon.png[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.[br]
Matrizen werden in GeoGebra zeilenweise mit geschweiften Klammern eingegeben. [br]Die Matrix [math]M= $\left( \begin{array}{rrrr}[br] 2 & 3 & -1 & 1 \\[br] 4 & -1 & 3 & 11 \\[br] 3 & 1 & -1 & 10 \\[br] \end{array}\right) [/math] wird so eingegeben: [code]M={{2,3,-1,1},{4,-1,3,11},{3,1,-1,10}}[/code] [br]Alternativ können Sie die in GeoGebra eingeblendete Tastatur zur Eingabe benutzen:[br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/MatrixGGB.png[/img][br]
Es soll jetzt der Bestandsvektor nach 15 Monaten bestimmt werden.[br]Statt mühsam jedes Mal das Ergebnis der vorherigen Berechnung mit [code]A[/code] zu multiplizieren, [br]könnte man doch auch direkt …? [br]Probieren Sie Ihre Lösungsidee aus und berechnen Sie [math]k_{15}[/math] direkt mit [math]k_0[/math] und [code]A[/code]. Beschreiben Sie dann Ihr Vorgehen. [br][br][br]
[math]\overrightarrow{k_15} = A^{15} \cdot k_0 = \begin{pmatrix}10134 \\ 39866 \end{pmatrix}[/math][br]Statt jeden Monat einzeln zu berechnen kann man die Übergangsmatrix potenzieren. Dadurch werden alle 15 Übergänge zusammengefasst. Diese wird anschließend noch einmal mit dem Anfangsvektor multipliziert.
Fassen Sie Ihre Ergebnisse und ihre Vorgehensweise aus den letzten zwei Arbeitsblättern in ihren eigenen Worten zusammen, sodass Sie später darauf zurückgreifen können. Nutzen Sie gerne auch Bilder. (Wie können Übergangsprozesse dargestellt werden? Wie werden sie (mit GeoGebra) berechnet? Wie entwickeln sich die Kundenzahlen nach vielen Monaten und wie lässt sich das erklären? Welche Einfluss haben die anfänglichen Kundenzahlen? Was waren Modellannahmen? ....)
[i][u]Quellen: [/u][br]Susanne Digel und Jan Lucas Fischer adaptiert von Jürgen Roth.[/i]