A GeoGebra alap eszköztárában van két olyan ikon, amely nem szerepel a középiskolai tananyagban, bár szerepelhetne. Egyik az inverzió: [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_mirroratcircle.png[/icon] (körre vonatkozó tükrözés), amelyet [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/veznxzzw]itt mutattunk be[/url], másik a poláris képzés [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_polardiameter.png[/icon] amelyhez a [size=85][b]Poláris(<pont>,<kúpszelet>[/b],[b])[/b][/size] parancs tartozik. [br][br]Mi most ez utóbbi (gömbre leszűkített) térbeli megfelelőjével, és ennek egy fontos alkalmazásával ismerkedünk meg.
Legyen adott egy [i]O=(0,0,0)[/i] középpontú[i] r[/i] sugarú [i]G[/i] gömb, valamint a tér egy [i]A=(a[sub]x[/sub],a[sub]y[/sub],a[sub]z[/sub])[/i] pontja! [br]A körre vonatkozó inverzió - mint geometriai transzformáció - kiterjeszthető gömbre is, de erre nincs megfelelő GeoGebra parancs. Így az [i]A (≠O[/i]) pontnak a [i]G [/i]gömbre vonatkozó inverzét az [b]A[size=85]'= [/size][/b][size=85][b]Nyújtás(A, r²/Távolság(O,A)²) [/b][size=100]paranccsal állíthatjuk elő. Könnyen ellenőrizhető, hogy teljesül az [i]OA·OA'=r[/i][sup]2 [/sup] összefüggés, tehát [i]A'[/i] valóban az [i]A[/i] -nak [i]G-[/i]re vonatkozó inverze. Legyen S[i][sub]A[/sub] [/i]az [i]A'[/i] pontra illeszkedő [i]OA [/i]egyenesre merőleges sík, amely a GeoGebra eszközeivel könnyen megszerkeszthető. Ezt a síkot nevezzük az [i]A[/i] pont G-re vonatkozó [i]polársíkjának.[/i] [br][br][/size][/size]Ez a [i]pont → sík[/i] hozzárendelés megfordítható. Legyen [i]S[/i] a tér egy [i]O[/i]-ra nem illeszkedő síkja, [i]T[sub]S[/sub][/i] a [i]G[/i] gömb [i]O[/i] középpontjának az [i]S[/i]-re eső merőleges vetülete, [i]P[sub]S[/sub][/i] a [i]T[sub]S[/sub][/i] pontnak a [i]G[/i]-re vonatkozó inverze. A P[sub]S [/sub]pontot nevezzük az [i]S[/i] sík [i]G[/i]-re vonatkozó [i]pólusának[/i]. [br][br]Belátható, hogy az így értelmezett [i]polaritás[/i]nak nevezett geometriai transzformáció, amelynek [i]G [/i]az[i] alapgömbje,[/i][br][list][*][i]involutórikus[/i]: egy [i]A [/i]pont [i]G[/i]-re vonatkozó polársíkjának ugyancsak [i]G[/i]-re vonatkozó pólusa maga az [i]A[/i] pont;[/*][*][i]illeszkedéstartó[/i]: ha a [i]B[/i] pont illeszkedik az [i]A[/i] pont polársíkjára, akkor [i]B [/i]polársíkja is illeszkedik az [i]A [/i]pontra;[/*][*]az [i]e=(A,B)[/i] egyenesre illeszkedő [i]C[/i] pont S[i][sub]C[/sub][/i] polársíkja illeszkedik A és B pontok polársíkjainak az [i]e'=S[sub]A[/sub][/i][i]∩S[sub]B[/sub][/i] metszésvonalára, így [i]e'[/i] -t nevezhetjük az [i]e[/i] egyenes[i] polárisának;[/i] [/*][*]egy egyenes és polárisa merőleges egymásra, a gömb középpontjának az egyenesekre eső merőleges vetületei egymás inverzei;[/*][*]ha egy egyenes érinti a polaritás alapgömbjét, akkor a polárisa is érinti, ugyanott;[/*][*]Az illeszkedéstartás az egyenesekre is kiterjed: ha egy egyenes illeszkedik egy pontra, akkor polárisa illeszkedik a pont polársíkjára.[/*][/list]Ha a polaritás értelmezési tartománya és értékkészlete az euklideszi tér térelemeiből áll, akkor az alapgömbre illeszkedő síknak, egyenesnek és magának a középpontnak nem létezik a polárisa. A [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Projekt%C3%ADv_geometria]projektív geometria[/url] épp ezzel foglalkozik: a végtelen távoli térelemek fogalmát bevezetve megszűnik ez a korlátozás.[br][br]Az eddigiek alapján kimondhatjuk, hogy ha adott egy polaritás alapgömbje, akkor a GeoGebra eszköztárával megszerkeszthető bármely térelemnek az erre vonatkozó poláris alakzata. Pl. ha adott egy (az alapgömb középpontjára nem illeszkedő) sík három pontjával, akkor meg tudjuk szerkeszteni e sík pólusát. [br][br]Bízunk benne, hogy az alábbi applet alapos "meggyötrésével" olvasóink számára kézzelfoghatóvá válnak a rájuk zúduló fogalmak és összefüggések.
A fenti appletben bemutatott szerkesztéseknek lényegében egyetlen céljuk volt: megmutattuk, hogy ha adott három pont a térben, és egy polaritás alapgömbje, akkor miként lehet megszerkeszteni a három pont síkjának a polárisát. Ehhez a feladathoz azonban nincs is szükségünk ezekre a szerkesztésekre.[br][br] Ugyanis a gömbre vonatkozó polaritásnak van egy fontos tulajdonsága: az [i]A(a[sub]x[/sub],a[sub]y[/sub],a[sub]z[/sub],)[/i] pont origó középpontú [i]r[/i] sugarú alapgömbre vonatkozó polársíkjának az egyenlete: [i]a[/i][sub][i]x[/i][/sub][i][i]·x[/i] +a[/i][sub]y[/sub][i][i]·y[/i] +a[/i][sub]z[/sub][i][i]·z[/i] =r[/i][size=85][sup]2 [/sup][size=100] [br]Ha az alapgömb középpontja (u,v,w), akkor az egyenlet: [i]a[/i][sub][i]x[/i][/sub][i][i]·(x-u)[/i] +a[/i][sub]y[/sub][i][i]·(y-v)[/i]+a[/i][sub]z[/sub][i][i]·(z-w)[/i]=r[/i][size=85][sup]2 [/sup][size=100] .[br][br][/size][/size]Ebből adódóan a három pont koordinátáit ismerve felírhatunk egy háromismeretlenes lineáris egyenletrendszert, amelyet megoldva megkaphatjuk e pontok síkjának a pólusát. Erre már célszerű készítenünk egy saját eljárást amelyet várhatóan igen sokszor tudunk alkalmazni.[br][br]A következő appletben már ezt az eljárást fogjuk használni. [br]Tanulságul ide másoljuk az eljárásban felhasznált parancsokat:[br]Az eljárás bemenő adatai a térbeli koordinátarendszerben felvett - így mozgatható [i][b]A, B[/b][/i] és [i][b]C[/b][/i] pont, továbbá az origó középpontú alapgömb [b][i]r[/i][/b] sugara. (Mint később látni fogjuk, elegendő az origó középpontú alapgömbbel számolnunk.)[br][br]A [i][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Cramer-szab%C3%A1ly]Cramer szabály[/url][/i] alapján:[br][b] d=Determináns({{x(A), x(B), x(C)}, {y(A), y(B), y(C)}, {z(A), z(B), z(C)}})[br]d_X=Determináns({{r², r², r²}, {y(A), y(B), y(C)}, {z(A), z(B), z(C)}})[br]d_Y=Determináns({{x(A), x(B), x(C)}, {r², r², r²}, {z(A), z(B), z(C)}})[br]d_Z=Determináns({{x(A), x(B), x(C)}, {y(A), y(B), y(C)}, {r², r², r²}})[br] D=(d_X / d, d_Y / d, d_Z / d)[br][/b][br]Az eljárás akkor tér vissza "nem definiált" eredménnyel, ha az [i]A, B, C[/i] pontok egy egyenesre esnek, vagy az [i]([/i][i]A, B, C)[/i] sík illeszkedik a (0,0,0) pontra.[/size][/size]
[i]Közönséges poliéder[/i]nek nevezzük azt a poliédert amelyek[br][list][*]lapjai egyszerű sokszögek; [br](Az egyszerű sokszögnek pontosan egy határvonala van, a határvonalat alkotó éleknek (mint szakaszoknak) csak a két szomszédos éllel van közös pontjuk, ezek a sokszög csúcsai. A sokszög összes csúcsa egy síkban van.) [/*][*]bármely két lapjának legfeljebb egy közös csúcsa, vagy egy közös éle lehet, további közös pontjai nem lehetnek.[/*][/list][br]Így egy közönséges poliéder minden éléhez pontosan két csúcs és pontosan két lap tartozik.[br][br]Mivel egy sokszög egyértelmű megadásához a csúcsok (megfelelő) megadása mellett meg kell adnunk az éleinek a ciklikus sorrendjét is. ezzel egyértelműen megadtuk a poliéder [i]kombinatorikus szerkezetét[/i] is. vagyis azt is, hogy az egy csúcsra illeszkedő lapok milyen sorrendben követik egymást.[br][br]Bár egy szakasz polárisát nem értelmeztük,(csak a szakasz [u]egyenesének [/u]van polárisa, amely ugyancsak egyenes), egy poliéder-él duálisa már értelmezhető:[br][br][list][*]Egy [u]poliéder-él[/u]nek egy adott [i]G[/i] gömbre vonatkozó [i]duálisán[/i] azt a [u]szakaszt[/u] értjük, amelynek a végpontjai az élhez tartozó két lap [i]G[/i]-re vonatkozó polárisai. [/*][/list]
Ezek után -látszólag - egyszerű feladatnak tűnik egy tetszőleges poliéder duálisának az előállítása. Bár - mint mindig - az ördög a részletekben bujkál.[br][br]Ha az eredeti poliéder egy-egy csúcsára több mint három él illeszkedik, akkor az eljárás garantálja, hogy a csúcs duálisának megfelelő lap csúcsai egy síkban lesznek, arról azonban külön gondoskodnunk kell, hogy ezeket abban a sorrendben kössük össze sokszögvonallal, ahogy az eredeti csúcs körüli testszöglet lapjai követik egymást. Azonban még így sem lehetünk biztosak abban, hogy a kapott sokszög egyszerű, önátmetszés nélküli sokszög lesz. Az azonban belátható, hogy ha egy poliéder konvex, és a dualitás alapgömbjének a középpontja ennek egy belső pontja, akkor a duális poliéder is konvex lesz. Az alábbi appletből az is kitűnik, hogy az alapgömb sugara csak a duális poliéder méretét befolyásolja, az alakja csak az eredeti poliéder és az alapgömb középpontjának a kölcsönös helyzetétől függ.
A fenti appletben lényegében egy általános oktaéder csúcsait adtuk meg. Ha jelölőnégyzettel bekapcsoljuk a "szerkesztés" üzemmódot, akkor mozgathatók az oktaéder csúcsai. Ez persze azt jelenti, hogy a duálisa nem kocka, "csak" egy kockaszerű (a kockával azonos kombinatorikus szerkezetű) poliéder lesz.[br][br]Előfordulhat, hogy a kapott alakzat néhány lapja önátmetsző. Ezt arról (is) észrevehetjük, hogy ebben az esetben megváltozik az önátmetsző lap színe.[br][br]Még egy egyszerű (általános) oktaéder duálisaként is kaphatunk önátmetsző alakzatot. [br][br]Éppen ez a változatosság teszi izgalmassá egy-egy duális poliéder előállításának (előállíthatóságának) a kérdését.