Gegeben ist die Funktion [math]f(x)=\frac{1}{4} \; x^{4} - \frac{11}{15} \; x^{3} - \frac{51}{40} \; x^{2} + \frac{9}{2} \; x[/math]. [b]Berechnen Sie alle Hoch- und Tiefpunkte[/b] der Funktion mit [b]notwendiger[/b] Bedingung und [b]hinreichender[/b] Bedingung für Extremstellen.
Am Beispiel des [color=#0000ff]HP-Prime[/color]:[br][list][*]Speichern Sie zuerst die Funktionsgleichung als [color=#0000ff]f(x)[/color] in Ihrem Taschenrechner ab.[/*][*]Berechnen Sie die erste Ableitungsfunktion: [color=#0000ff]diff(f(x),x)[/color] ergibt die Ableitungsfunktion: [math]f'(x)=x^3-\frac{11}{5}\,x^2-\frac{51}{20}\,x+\frac{9}{2}[/math]. Diese speichern Sie als [color=#0000ff]f1(x)[/color] ab. (eventuell müssen Sie Ihr Ergebnis noch mit [color=#0000ff]expand( ... )[/color] vereinfachen)[/*][*]Berechnen Sie die zweite Ableitungsfunktion: [color=#0000ff]diff(f1(x),x)[/color] oder [color=#0000ff]diff(f(x),x,2)[/color]. Sie erhalten dabei die Funktion [math]f''(x)=3\,x^2 - \frac{22}{5}\, x-\frac{51}{20}[/math]. Diese speichern Sie als [color=#0000ff]f2(x)[/color] ab. [/*][*][color=#980000][b]Notwendige Bedingung für Extremstellen[/b][/color]: [math]f'(x_E)=0[/math] Mit [color=#0000ff]solve(f1(x)=0)[/color] erhalten Sie als Lösung die Stellen [math]x_{E1}=-\frac{3}{2}=-1,5[/math], [math]x_{E2}=\frac{6}{5}=1,2[/math] und [math]x_{E3}=\frac{5}{2}=2,5[/math].[/*][*][color=#980000][b]Hinreichende Bedingungen für Extremstellen[/b][/color]: Die Ergebnisse aus der notwendigen Bedingung setzen Sie nun in die zweite Ableitung ein: [/*][*]Mit [color=#0000ff]f2(-1.5)[/color] erhalten Sie [math]f''(-1,5)=10,8[/math].[i][b] [/b][b]Das ist größer als Null, also ist hier ein Tiefpunkt[/b][/i]. [/*][*]Mit [color=#0000ff]f2(1.2)[/color] erhalten Sie [math]f''(1,2)=-3.51[/math].[i][b] [/b][b]Das ist kleiner als Null, also ist hier ein Hochpunkt[/b][/i]. [/*][*]Mit [color=#0000ff]f2(2.5)[/color] erhalten Sie [math]f''(2,5)=5.2[/math].[i][b] [/b][b]Das ist größer als Null, also ist hier ein Tiefpunkt[/b][/i]. [br][/*][*][color=#980000][b]Berechnen der y-Koordinaten[/b][/color]: Nun müssen die Ergebnisse aus der notwendigen Bedingung in die Gleichung f(x) eingesetzt werden:[/*][*]Mit [color=#0000ff]f(-1.5)[/color] erhalten Sie [math]f(-1,5)\approx -5,88[/math]. Der erste Tiefpunkt ist also: [math]\mathbf{T}_1(-1,5|-5,88)[/math][/*][*]Mit [color=#0000ff]f(1.2)[/color] erhalten Sie [math]f(1,2)\approx 2,82[/math]. Der Hochpunkt ist also: [math]\mathbf{H}(1,2|2,82)[/math][/*][*]Mit [color=#0000ff]f(2.5)[/color] erhalten Sie [math]f(2,5)\approx 1,59[/math]. Der zweite Tiefpunkt ist also: [math]\mathbf{T}_2(2,5|1,59)[/math][br][/*][/list]