Besondere Matrizen

Matrizen verändern Matrizen
Man kann mit der Multiplikation von Matrizen Vektoren und Matrizen verändern. Mit einer geeigneten Matrizenmultiplikatiion ist es möglich, bei einer Matrix[br][list][*]Zeilen oder Spalten mit einer Zahl zu multiplizieren[/*][*]Zeilen oder Spalten zu vertauschen[/*][*]Zeilen oder Spalten einer Matrix zu addieren oder zu subtrahieren[/*][/list][br][br]Aber beginnen wir mit den Matrizen, die bei einer Multiplikation nichts verändern:
Einheitsmatrizen
Eine [color=#980000][b]Einheitsmatrix[/b][/color] ist eine [i]quadratische Matrix[/i] (d.h. genau so viel Zeilen wie Spalten). Sie hat auf ihrer Diagonalen von links oben nach rechts unten Einsen und alle anderen Zahlen sind gleich Null:[br][math]E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}[/math], [math]E_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/math], [math]E_4=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}[/math] usw. sind Einheitsmatrizen[br]Die Diagonale von links oben nach rechts unten heißt auch [color=#980000][b]Hauptdiagonale[/b][/color].[br][b][br]Eine Matrix, die mit einer Einheitsmatrix multipliziert wird, ändert sich nicht[/b]:[br][br] [math]\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}[/math][br]oder [br][math] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}[/math][br][br]Glauben Sie nichts, prüfen Sie es nach!
Lösen Sie folgende Aufgaben
Wenn Sie die folgenden Aufgaben lösen und sich die Lösungen genau anschauen, dann können Sie selbst die Rechenregeln herausfinden, wie man Zeilen oder Spalten von Matrizen[br][list][*]Mit einer Zahl multipliziert[/*][*]vertauscht [/*][*]oder addiert bzw. subtrahiert[br][/*][/list][br][br][b][color=#980000]Überlegen Sie sich Merksätze für Ihre Erkenntnisse[/color][/b] und probieren Sie diese dann wieder mit anderen Matrizen aus.
a)[br] [math]\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}10&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=[/math][br]b)[br][math] \begin{pmatrix}10&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}= [/math][br]c)[br][math]\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}=[/math][br]d)[br][math] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}= [/math][br]e)[br][math]\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=[/math][br]f)[br][math] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}= [/math][br]g)[br][math]\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\100&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=[/math][br]h)[br][math] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-100&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}= [/math][br]
Ein Fazit
Wahrscheinlich haben Sie bemerkt, dass immer dann, wenn eine Matrix mit einer Multiplikation [color=#980000][b]von links [/b][/color]verändert wurde, die [color=#980000][b]Zeilen[/b][/color] manipuliert wurden.[br]Wenn Sie die veränderten Einheitsmatrizen [color=#38761D][b]von rechts[/b][/color] an eine Matrix multiplizieren, dann verändern sie die [color=#38761D][b]Spalten[/b][/color].[br][br]Da wir von links nach rechts lesen gilt also auch hier wieder "Zeilen zuerst, Spalten später".
Wie lautet das Rezept für das Multiplizieren von Zeilen bzw. Spalten einer Matrix?
Wie lautet das Rezept für das Vertauschen von Zeilen bzw. Spalten?
Wie lautet das Rezept dafür, das z-fache der m-ten Zeile zur n-ten Zeile zu addieren?[br]Wie lautet das Rezept dafür, das z-fache der m-ten Spalte zur n-ten Spalte zu addieren?
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– Klaus Schoepe

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