Man kann mit der Multiplikation von Matrizen Vektoren und Matrizen verändern. Mit einer geeigneten Matrizenmultiplikatiion ist es möglich, bei einer Matrix[br][list][*]Zeilen oder Spalten mit einer Zahl zu multiplizieren[/*][*]Zeilen oder Spalten zu vertauschen[/*][*]Zeilen oder Spalten einer Matrix zu addieren oder zu subtrahieren[/*][/list][br][br]Aber beginnen wir mit den Matrizen, die bei einer Multiplikation nichts verändern:

Eine [color=#980000][b]Einheitsmatrix[/b][/color] ist eine [i]quadratische Matrix[/i] (d.h. genau so viel Zeilen wie Spalten). Sie hat auf ihrer Diagonalen von links oben nach rechts unten Einsen und alle anderen Zahlen sind gleich Null:[br][math]E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}[/math], [math]E_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/math], [math]E_4=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}[/math] usw. sind Einheitsmatrizen[br]Die Diagonale von links oben nach rechts unten heißt auch [color=#980000][b]Hauptdiagonale[/b][/color].[br][b][br]Eine Matrix, die mit einer Einheitsmatrix multipliziert wird, ändert sich nicht[/b]:[br][br] [math]\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}[/math][br]oder [br][math] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}[/math][br][br]Glauben Sie nichts, prüfen Sie es nach!

In den folgenden Aufgaben lernen Sie Tipps und Tricks im Umgang mit Matrizen.[br]Welche das sind, sollen Sie allerdings alleine herausfinden. [br]Berechnen Sie die Aufgaben, Verändern Sie sie, um Ihre Erkenntnisse zu vertiefen und ...[br][br][b][color=#980000]... überlegen Sie sich Merksätze für Ihre Erkenntnisse[/color][/b]. [br][br]Überprüfen Sie schließlich an Aufgaben, die Sie sich selbst ausgedacht haben, ob Ihre Vermutung richtig ist.

a)[br] [math]\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}10&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=[/math][br]b)[br][math] \begin{pmatrix}10&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}= [/math][br]c)[br][math]\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}=[/math][br]d)[br][math] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}= [/math][br]e)[br][math]\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=[/math][br]f)[br][math] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}= [/math][br]g)[br][math]\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\100&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=[/math][br]h)[br][math] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-100&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\8&7&6&5\\9&10&11&12 \end{pmatrix}= [/math][br]