El Rombododecaedro y las abejas

[size=200][b][color=#0000ff]EL ROMBODODECAEDRO o DODECAEDRO RÓMBICO[/color][/b][/size]

[color=#0000ff][size=100][size=150]A partir de un cubo, podemos construir en cada cara una pirámide, tanto hacia el exterior como hacia el interior. Compruébalo en el siguiente applet de GeoGebra.[/size][/size][/color]

PREGUNTA 1

[size=150][color=#0000ff]Para una cierta altura se forma un poliedro cuyas caras son rombos. Este poliedro se llama [b]ROMBODODECAEDRO o DODECAEDRO RÓMBICO[/b]. Observa el valor de la altura para varias medidas de la arista del cubo inicial.[br][/color][/size][color=#ff0000][b][size=150]¿Qué relación hay entre la medida de esta altura y la medida de la arista del cubo?[/size][/b][/color]

PREGUNTA 2

[size=150][color=#0000ff]Observa cómo se forman pirámides hacia el interior del cubo ([/color][i][color=#0000ff]cuyo volumen es [/color][math]a^3[/math][/i][color=#0000ff]).[/color][br][color=#ff0000][b]¿Cuál es el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado a y altura la mitad de a?[/b][/color][/size][br]Puede ayudarte el siguiente applet

PREGUNTA 3

[size=150][color=#ff0000][b]¿Cuál es el volumen del ROMBODODECAEDRO en función de la arista del cubo con el que se forma?[/b][/color][/size]

PREGUNTA 4

[size=150][color=#0000ff]Fíjate bien en el ROMBODODECAEDRO[/color][br][b][color=#ff0000]¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?[/color][/b][/size]

[u][b][color=#0000ff][size=150]Fórmula de EULER[/size][/color][/b][/u]

[size=150][color=#0000ff]En todos los poliedros se cumple la [b]FÓRMULA DE EULER[/b]:[br][/color][center][color=#0000ff][b]CARAS + VÉRTICES =ARISTAS + 2[/b][/color][/center][/size][center][color=#0000ff][/color][/center][size=150][color=#ff0000]Comprueba que se verifica con los resultados que hayas obtenido.[br][/color][br][color=#0000ff]Además, también debe cumplirse que[br][center][b](nº caras del polígono) . Caras = 2. Aristas[/b][/center][/color][color=#ff0000]Compruébalo[/color][/size]

[br][br] [br]

PREGUNTA 5

[size=150][color=#0000ff]Si te fijas en las aristas del ROMBODODECAEDRO, no todos los vértices son iguales. Hay dos tipos de vértices.[/color][br][color=#ff0000][b]¿Qué dos tipos de vértices hay? ¿Cuántos de cada tipo?[/b][/color][/size]

PREGUNTA 6

[size=150][color=#ff0000][b]A partir de un cubo de arista 2, calcula la diagonal menor, la diagonal mayor y el lado de los rombos que forman el ROMBODODECAEDRO.[/b][/color][/size] Para ello relaciónalo con elementos del cubo.[br][br][size=150][b][color=#ff0000]¿Cuál es el área total del ROMBODODECAEDRO?[/color][/b][/size]

[b][color=#0000ff][size=200]TESELACIÓN DEL ESPACIO[/size][/color][/b]

PRGUNTA 7

[justify][color=#0000ff][size=150][b]Teselar el espacio[/b] es lo análogo, en dimensión tres, de lo que llamamos mosaicos en el plano. La palabra tesela se refiere a cada una de las piezas de un mosaico. El ejemplo más sencillo de mosaico plano es el formado por cuadrados.[br]Teselar el espacio con un poliedro quiere decir que con copias de ese poliedro podemos rellenar el espacio sin dejar huecos. El cubo (y todos los poliedros que llamamos ortoedros y también los paralelepípedos) tienen esta propiedad que nos resulta muy familiar. Basta pensar en los almacenes llenos de cajas apiladas, los ladrillos,...[br][br][b]El ROMBODODECAEDRO tesela el espacio[/b], puedes ver en el siguiente applet como a partir de uno de ellos se puede rellenar todo el espacio. Con tres grupos de cuatro rombododecaedros se envuelve el rombododecaedro inicial.[br]Al girar todo y cambiar el punto de vista podrás ver curiosas imágenes, por ejemplo que parezcan cubos. Busca otras imágenes interesantes.[/size][/color][br][br][size=150][b][color=#ff0000]En una de las imágenes sólo se ven cuadrados. ¿Cuántos cuadrados se ven?[/color][/b][/size][/justify]

[br][br] [br]

[b][color=#0000ff][size=200]EL ROMBODODECAEDRO y EL PANAL DE ABEJAS[/size][/color][/b]

[justify][/justify][justify][color=#0000ff][size=150] Seguro que ya sabes que los panales de las abejas están formados por hexágonos (que teselan el plano). El matemático griego [b]Pappus de Alejandría[/b] (en 311 d.C.) ya había escrito sobre ese plan hexagonal de los panales planteando la posibilidad de que las abejas tuvieran "cierta previsión geométrica". Escribió: "[i]Habiendo, pues, tres figuras que por sí mismas pueden llenar el espacio alrededor de un punto, verbigracia, el triángulo, el cuadrado y el hexágono, las abejas han seleccionado sabiamente la estructura que contenía más ángulos, sospechando que en realidad podrían contener más miel que cualquiera de las otras dos".[br][br][/i][/size][/color][color=#0000ff][size=150] Las celdillas tienen forma de prisma hexagonal y construyen dos capas, cada una mirando hacia un lado y unidas por las bases.[/size][/color][/justify]

[justify][size=150][color=#0000ff]Fue el importante matemático alemán [b]Kepler[/b] (en 1600 d.C.) el primero en fijarse cómo cerraban las abejas las celdillas.[br]F[/color][/size][size=150][color=#0000ff]íjate en la fotografía del panal para ver cómo es el fondo de las celdillas, no son planas. ¿Por qué será?[/color][/size][/justify]

PREGUNTA 8

[size=150][color=#ff0000][b]¿Cómo es el fondo de una celdilla?[/b][/color][/size]

[justify][size=150][color=#0000ff]En el siguiente applet de GeoGebra puedes ver una forma de construir el fondo de una celdilla.[br]Una celdilla de un panal tiene forma de prisma hexagonal regular, pero cuyo fondo remata en tres rombos. Puede obtenerse a partir del prisma, cortando tres tetraedros por los lados de un triángulo equilátero inscrito en la base y pegándolos a ese triángulo. Para cada inclinación del corte, salen unos rombos diferentes. [br]Practica modificando el ángulo de corte y con el deslizador Prisma-Celdilla ver la construcción.[br](También puedes elegir la altura del prisma y el lado)[/color][/size][/justify]

PREGUNTA 9

[size=150][color=#ff0000][b]Al dejar fijadas la altura del prisma y el lado del hexágono, y al variar el ángulo de corte, ¿ qué ocurre con el volumen de la celdilla ? ¿ por qué ?[/b][/color][/size]

PREGUNTA 10

[b][size=150][color=#ff0000]Al dejar fijadas la altura del prisma y el lado del hexágono, y al variar el ángulo de corte, ¿ qué ocurre con el área de la celdilla ?[/color][/size][/b]

PREGUNTA 11

[size=150][color=#ff0000][b]Las abejas eligen un ángulo algo mayor de 54.7º para hacer tres rombos de un rombododecaedro. ¿ Por qué lo construyen con ese ángulo?[/b][/color][/size]

[br][br][br][size=150][b][color=#0000ff]En el siguiente applet de Geogebra puedes ver, con todos los detalles vistos hasta ahora, cómo es un panal de abejas.[/color][/b][/size]

[b][color=#0000ff][size=200][br][br]PARA ACABAR, OTRAS CURIOSIDADES SOBRE EL ROMBODODECAEDRO[/size][/color][/b]

[size=150][color=#0000ff]En la naturaleza se encuentra el rombododecaedro en algunos minerales. El más conocido es el [b]granate[/b], que desde la edad de bronce se utiliza como piedra preciosa. Su nombre viene del parecido de alguno de ellos al color y a los granos de una fruta, la granada.[/color][/size]