[size=150]Ouvrir dans une autre fenêtre un tableur excel afin de recopier le tableau ci-dessus[/size]
Le Flocon de Von Koch
Le Flocon de Von Koch est une construction géométrique fractale qui s'obtient par itérations successives.[br]Ci dessous, vous pouvez faire apparaitre les 6 premières étapes de la construction en faisant varier le curseur [i][b]n[/b][/i] de 0 à 5.[br]On suppose qu'à [i][b]n=0[/b][/i] le côté initial du triangle est de [math]C_0=AB=81cm[/math][br]Le but de l'activité est de s'intéresser à comprendre comment évolue le périmètre et l'aire du flocon lorsque [i][b]n[/b][/i] augmente.
Flocon de Von Koch de n=0 à n=5
Côté et périmètre du flocon à n=1 ?
On suppose qu'à l'étape initiale [math]n=0[/math] le côté [math][AB][/math] du triangle est de [math]AB=C_0=81cm[/math][br]on notera [math]P_0=81\times3=243cm[/math] le périmètre du flocon à l'étape initiale n=0[br]Déterminer la longueur d'un côté du flocon [math]$C_1$[/math] à l'étape n=1 ainsi que le nombre de côtés [math]$N_1$[/math] du flocon et en déduire le périmètre du flocon [math]$P_1$[/math] à l'étape [math]$n=1$[/math] , on pourra les noté C(1), N(1) et P(1)
Etape n=2
De la même manière déterminer la longueur d'un côté du flocon et le périmètre du flocon à l'étape n=2 on les notera [math]$C_2$[/math] et [math]$P_2$[/math] ou C(2) et P(2),[size=85][size=50] vous pourrez aussi calculer N(2) le nombre de côtés à l'étape n=2...[/size][/size]
Etape n=3
Déterminer la longueur d'un côté du flocon et le périmètre du flocon à l'étape n=3 on les notera [math]$C_3$[/math] et [math]$P_3$[/math]
Aire du flocon aux étapes 0; 1; 2 et 3
On rappelle que l'aire d'un triangle équilatéral de coté [math]c[/math] peut se calculer à l'aide de la formule [math]$A=\frac{c^2\times\sqrt{3}}{4}$[/math][br]A l'aide de cette formule calculer l'aire du flocon à l'étape 0
étape n=1
Calculer l'aire du flocon à l'étape n=1
Avec Tableur !
Quelle formule doit on écrire dans la cellule D2 afin de calculer le périmètre du flocon à l'étape initiale n=0?[br](rappel une formule de tableur commence toujours par = )
afin de répondre aux 2 questions suivantes, faites varier n afin de voir comment varie un côté du flocon
Réfléchir comment évolue la longueur d'un coté du flocon d'une étape à l'autre pour en déduire quelle formule écrire en cellule B3 et que l'on pourra recopier vers le bas:
D'après le tableur quelle est la longueur d'un côté à l'étape n=10 ?
Réfléchir comment évolue le nombre de cotés du flocon d'une étape à l'autre pour en déduire quelle formule écrire en cellule C3 et que l'on pourra recopier vers le bas:
Quel est le nombre de côtés à l'étape 10 ?
On appellera "bourgeon" un triangle qui apparait à une nouvelle étape, à l'étape n=1, trois nouveaux bourgeons apparaissent. Préciser combien de nouveaux bourgeons apparaitront à l'étape n=2 en déduire quelle formule écrire dans la cellule E4 que l'on pourra recopier vers le bas
Du fait que l'aire d'un triangle équilatéral se calcule en fonction de son côté à l'aide de la formule [math]A=\frac{c^2\sqrt{3}}{4}[/math]écrire dans la cellule F2 la formule =B2^2*racine(3)/4 pour obtenir l'aire du flocon à l'étape 0 et préciser quelle formule doit on écrire en cellule F3 pour avoir l'aire du flocon à l'étape n=1 et que l'on pourra recopier vers le bas ?
Quelle est l'aire du flocon à l'étape n=10 ?
Conclusions
[size=150]Que pouvez vous dire de l'aire du flocon lorsque n augmente et tend vers l'infini copier vos formules de tableur jusqu'à n=100 afin de répondre précisément.[/size]