[color=#ff0000][i][b][size=50][right]Sorry! Sehr lange Ladezeiten wegen des sehr großen Rechenaufwandes![/right][/size][/b][/i][/color]

[size=85][right][size=50][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](16.10. 2019)[br][/b][/color][/size][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right][/size][size=85]Die [b]J-Funktion[/b] (siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/kjxqgmwf]die Seite zuvor[/url]!) bildet das links angezeigte [color=#980000][i][b]Kreis-Dreieck[/b][/i][/color] auf die obere [color=#0000ff][i][b]Halbebene[/b][/i][/color] ab, [br]wobei die [color=#980000][i][b]Ränder[/b][/i][/color] (bijektiv !) auf [math]\mathbb{R}\cup \{\infty\}[/math] abgebildet werden![br]Die [color=#ff00ff][i][b]Gitter[/b][/i][/color] können leider nur exemplarisch angezeigt werden; der Rechenaufwand für die [color=#0000ff][i][b]parametrisierten Kurven[/b][/i][/color] ist [br]für die [b]J-Funktion[/b] zu groß! Wir haben es für das 2. Gitter versucht.[br][color=#0000ff][i][b]Formeln und Aussagen für die[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]absolute Invariante[/b][/i][/color] der 4 Punkte [math]z,\frac{1}{z},-z,-\frac{1}{z}[/math] in [color=#0000ff][i]Normalform[/i][/color][b], [/b]dh. für [br]die[b] J-Funktion [/b]hier nur als Zusammenfassung und ohne Beweise:[br][list][*][size=85]Für[/size] [math]d=\mathbf{Dv}\left(z,\frac{1}{z},-z,-\frac{1}{z}\right)=\frac{4\cdot z^2}{\left(1+z^2\right)^2}[/math] [size=85]gilt[/size] [math]\mathbf\mathcal{J}\left(z\right):=\frac{1}{27}\cdot\left(\frac{d+1}{d-1}\right)^2\cdot\left(\frac{d-2}{d}\right)^2\cdot\left(2d-1\right)^2[/math]. [br][size=85]Die Menge der 6 [i][b]relativen Invarianten[/b][/i][/size][i][b][/b][/i] [math]j_{1/2}=\pm\frac{d+1}{d-1}[/math], [math]j_{3/4}=\pm\frac{d-2}{d}[/math], [math]j_{5/6}=\pm\left(2d-1\right)[/math] [size=85]ist invariant [br]unter der endlichen Gruppe von involutorischen Möbiustransformationen[/size] [br][math]\left\{\pm \mathbf{id},\pm \mathbf{A},\pm \mathbf{B}\right\}[/math] [size=85]mit[/size] [math]\mathbf{A}z=\frac{3+z}{z-1}[/math], [math]\mathbf{B}z=\frac{3-z}{z+1}[/math].[/*][*] [size=85]Für jeder der 6 [i][b]relativen Invarianten[/b][/i][/size] [math]j[/math] gilt: [list][*][math]27\mathbf\mathcal{J}=j^2\cdot\left(\frac{3+j}{j-1}\right)^2\cdot\left(\frac{3-j}{j+1}\right)^2=j^2\cdot\left(\frac{9-j^2}{j^2-1}\right)^2[/math][br][/*][/list]Dies ergibt eine kubische Gleichung für [math]j^2[/math], welche für reelles [math]\mathbf\mathcal{J}[/math] nur reelle Koeffizienten besitzt. [/*] [*][math]\mathbf\mathcal{J}\ge 0[/math] gilt genau dann, wenn [math]d[/math] reell ist, also genau dann, wenn die 4 Punkte [color=#ff7700][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] sind zB. [size=85][b][color=#ff0000]z[sub]0[/sub][/color] [/b]auf[b] [color=#ff0000]pr[/color][/b][/size]. [br][/*][*][math]\mathbf\mathcal{J}\le 0[/math] gilt genau dann, wenn die Punkte [color=#ff7700][i][b]spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen liegen[/b][/i][/color] zB. [size=85][size=85][b][color=#ff0000]z[sub]0[/sub][/color] [/b]auf[b] [color=#ff0000]ps [/color][/b]oder[b][color=#ff0000] rs[/color][/b][/size][/size].[/*][*][math]\mathbf\mathcal{J}= 0[/math]: die 4 verschiedenen Punkte besitzen [color=#ff7700][i][b]harmonische Lage[/b][/i][/color] zB: [size=85][b][color=#ff0000]z[sub]0[/sub][/color]=[color=#ff0000]r[/color][/b][/size]. [br][/*][*][math]\mathbf\mathcal{J}=-1[/math]: die 4 Punkte sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] die Ecken eines [color=#ff7700][i][b]regelmäßigen Tetraeders[/b][/i][/color] zB. [b][color=#ff0000]z[sub]0[/sub][/color]=[color=#ff0000]s[/color][/b].[/*][br][*][math]\mathbf\mathcal{J}(z)=\frac{1}{4\cdot27}\cdot\frac{\left(z^4+6\cdot z^2+1\right)^2\left(z^4+1\right)^2\left(z^4-6\cdot z^2+1\right)^2}{z^4\cdot\left(z+1\right)^4\cdot\left(z-1\right)^4\cdot\left(z+i\right)^4\cdot\left(z-i\right)^4}[/math] [br][math]\mbox{ }= \frac{1}{4\cdot 27}\cdot \frac{z^{24}-66\cdot z^{20}+1023\cdot z^{16}+2180\cdot z^{12}-1023\cdot z^8 -66\cdot z^4 +1}{z^{20}-4\cdot z^{16}+6\cdot z^{12}-4\cdot z^8+z^4}[/math] [/*][/list][/size]