Soit ABC un triangle équilatéral. Notons I le milieu du segment [BC] et J le milieu de [AB].[br][br]La médiatrice (AI) de [BC] partage le triangle en deux triangles rectangles de même aire.[br][br]La symétrie de centre J transforme le triangle rectangle AIB en BKA.[br]Le triangle équilatéral ABC et rectangle AIBK, formés par deux triangles rectangles isométriques, ont même aire.[br][br]Il s'agit donc, avec une figure d'Euclide, de construire un carré de même aire que ce rectangle.

Pour cela, nous allons utiliser le théorème de la hauteur dans le triangle rectangle KHD, rectangle en H, inscrit dans le demi-cercle de diamètre [KD].[br]Si B le pied de la hauteur issue de H, alors BH² = BK × BD.[br][br]En l'interprétant de manière géométrique, cette relation permet de construire un carré de côté [BH] de même aire qu’un rectangle de côtés [BK] et [BD].[br][br]Sur la longueur (KB), on reporte la largeur du rectangle en D et on trace le demi-cercle qui admet ce côté prolongé [KD] pour diamètre.[br]L'intersection du prolongement de la largeur, le long de (BI), avec ce cercle définit la hauteur [BH], l'un des côtés du carré BHGF.[br]Le carré BHGF a même aire que le triangle équilatéral ABC (ainsi que le rectangle AIBK).[br][br][url=https://tube.geogebra.org/m/ZGRloXOe]Construction du triangle équilatéral avec deux cercles[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/wyMxKEDG]Deux triangles équilatéraux[br][/url][br][br][i]Descartes et les Mathématiques - [url=https://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/triangle-equilateral.mobile.html]Triangle équilatéral[/url][/i][br][url=http://www.debart.fr/geogebra/triangle_equilateral.html]Le triangle équilatéral avec GeoGebra[/url]