Produkt- und Kettenregel
Im Zusammenhang mit der Differenzialrechnung hast du schon zahlreiche Regeln zum Ableiten von Funktionen kennengelernt. Beispielsweise kennst du die Konstantenregel, die Faktorregel, die Summenregel sowie die Ableitung von Potenzfunktionen, ganzrationalen Funktionen und ggf. auch von einigen trigonometrischen Funktionen wie f(x)=sin(x) und f(x)=cos(x). In den folgenden Materialien lernst du zwei weitere Ableitungsregeln kennen: die Produktregel und die Kettenregel.
Table of Contents
- Produktregel
- Produktregel
- Kettenregel
- Verkettung von Funktionen
- Zur Herleitung der Kettenregel
- Kettenregel herausfinden
- Kettenregel üben
Produktregel
[size=85]Quelle: http://www.riemer-koeln.de/mathematik/publikationen/pm-produktregel/pm-produktregel.pdf[/size][br][br]u hat der Stelle 4 den Funktionswert a=2 und die Steigung m=0,5. [br]v hat dort den Funktionswert b=3 und die Steigung n=1. [br]Das Produkt f=u*v hat dann an der Stelle 4 den Funktionswert a*b=6. [br]So ist das Produkt zweier Funktionen definiert. [br]Aber wie groß ist dort die Steigung s? [br][br]Sie lässt sich aus a, b, m und n berechnen. [br]Finden Sie heraus wie ... [br]und anschließend warum!
[b]1. Entdecken [/b] [br]Variieren Sie die vier Parameter a=u(4) , b=v(4) , m=u’(4) und n=v’(4) systematisch und halten Sie [br]fest, wie sich s dabei verändert. Dokumentieren Sie Ihre Ergebnisse in einer Tabelle. [br]Drücken Sie s durch a, b, m und n mithilfe eines Terms aus: s = .... . [br][br]
Tipps zum systematischen Probieren
[b]2. Kontrollieren [/b][br]Wenn Ihre Entdeckung stimmt, enthält sie die Faktorregel (c*f)’=c*f’ für einen konstanten Faktor c [br]als Spezialfall. Erläutern und begründen Sie! [br][br][b]3. Begründen an einem Spezialfall [/b][br]Nehmen Sie an: [br]- u ist eine lineare Funktion, deren Graph durch (4;a) verläuft und die Steigung m hat [br]- v ist eine lineare Funktion, deren Graph durch (4;b) verläuft und die Steigung n besitzt. [br]Diese Annahmen machen Sinn, denn Sie wissen: Jede Funktion sieht lokal wie eine Gerade aus. [br]Beschreiben Sie in Worten, was sie sehen – und kontrollieren Sie Ihre [br]Endeckung aus 1 rechnerisch. [br][br][b]4. Begründen allgemein [/b][br]Wenn man im ursprünglichen Applet von der Stelle 4 um h=0,01 nach rechts geht, wächst [br]- u von 2 auf 2+mh [br]- v von 3 auf 3+nh und [br]- f=u*v von 6 auf (2+mh)(3+nh)=6+(2*n+3*m)h+mnh². [br]Erläutern Sie in eigenen Worten, warum diese Umformung die Entdeckung aus 1 begründet. [br]Verallgemeinern Sie ... und formulieren Sie eine Regel zum Ableiten von Produktfunktionen[br]
Verkettung von Funktionen
In der linken Graphik sind die beiden Funktionen g und h abgebildet. In der rechten Grafik wird die [i]Verkettung[/i] f(x)=g(h(x)) dargestellt.[br][br]1. Erläutere den Zusammenhang zwischen der linken und der rechten Graphik. Beziehe dich dabei insbesondere auf die Bedeutung der beiden orangefarbenen Strecken. Beachte außerdem, wie die Koordinaten von [math]P_3[/math] mit den Punkten [math]P_1[/math] und [math]P_2[/math] zusammenhängen. [br]2. Variiere die Funktionsterme von g und h. Untersuche dabei auch, ob es bei der Verkettung von Funktionen auf die Reihenfolge der Funktionen ankommt.[br]