¿Cuál es el conjunto de todos los puntos donde las tangentes de dos círculos son iguales? [br][br][b]Respuesta[/b]:[br][br]Observemos la siguiente figura

Consideremos los círculos A y B y el eje radical. Desde un punto arbitrario F del eje radical trazamos una tangente a cada círculo, los cuales tocan al círculo en los puntos G y H. [br][br]Vemos que se forman los triángulos FGA y FHB. Si aplicamos el Teorema de Pitágoras, vemos que:[br][br][math]GF^2=AF^2-GA^2[/math] y [math]HF^2=BF^2-HB^2[/math]. Notamos que [math]AF^2-GA^2=BF^2-HB^2[/math] por el Teorema 2.21. [br][br]Por tanto, [math]GF=HF[/math] y el lugar geométrico es el eje radical.

Cuando la distancia entre los centros de dos círculos es mayor que la suma de los radios, los círculos tienen cuatro tangentes comunes. El punto medio de estos cuatro segmentos de la línea son colineales. [br][br][b]Respuesta[/b]: [br][br]Los puntos medios de las cuatro tangentes tienen potencias iguales de ambos círculos. Por lo tanto, deben estar en el eje radical y son colineales. Esta respuesta también está relacionada a los resultados obtenidos en el primer ejercicio. [br][br]

Sean PAB, AQB, ABR, P'BA, BQ'A, BAR' seis triángulos semejantes, todos en el mismo lado de su lado común AB. Los vértices de los triángulos que no yacen en AB (P, Q, R, P', Q', R'), yacen en un círculo. [b]Pista[/b]: Compare las potencias de A y B con respecto al círculo PQR. [br][br][b]Respuesta: [br][br][/b]Como [math]\text{Δ}ABQ\sim\text{Δ}ABR[/math] y [math]\text{Δ}PAB\sim\text{Δ}AQB[/math] tenemos que [math]\frac{AB}{AQ}=\frac{AR}{AB}[/math] y [math]\frac{AB}{BP}=\frac{BQ}{AB}[/math]. Luego, [math]AQ\times AR=AB^2=BP\times BQ[/math]. Esto implica que [math]A[/math] y [math]B[/math] tendrían potencias iguales en el círculo [math]PQR[/math]. Por tanto, la distancia entre [math]A[/math] y el centro del círculo es igual a la distancia de [math]B[/math] con el centro. [math]O[/math] es el centro del círculo [math]PQR[/math], entonces [math]\text{Δ}AOB[/math] es isósceles. Luego, la mediatriz de [math]AB[/math] pasa por [math]O[/math] y por tanto es el diámetro del círculo. Como los reflejos de [math]P,Q.R[/math] ocurren con respecto al diámetro de [math]O[/math], entonces [math]P'[/math], [math]Q'[/math] y [math]R'[/math] están en el círculo.

Dado a y b, ¿para cuáles valores de c la ecuación 2.23 representa un círculo?[br][br][b]Respuesta[/b]:[br][br]Recordemos que la ecuación 2.23 dice: [math]x^2+y^2-2ax-2by+c=0[/math].[br][br]Sumemos [math]a^2[/math] y [math]b^2[/math] a ambos lados para obtener: [br][br][math]x^2+y^2-2ax-2by+c+a^2+b^2=a^2+b^2[/math][br][math]\Longrightarrow x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=a^2+b^2-c[/math][br][math]\Longrightarrow\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=a^2+b^2-c[/math][br][br]Para que la ecuación represente un círculo, [math]a^2+b^2-c>0[/math]. Por tanto, [math]a^2+b^2>c[/math]. [br][br]Los valores de c serán aquellos menores que la suma de [math]a^2[/math] y [math]b^2[/math]

Describe una construcción para los ejes radicales de dos círculos no concéntricos: una construcción que se mantiene válida cuando uno de los círculos encierra al otro. [br][br][b]Respuesta: [br][br][/b]Sean [math]A,B[/math] círculos no concéntricos. Sea G un círculo que corte a A en dos puntos: C y D, que además corte a B en dos puntos, E y F. Ahora, si se trazan las rectas CD y EF, se puede notar que la potencia de su punto de intersección, llamémoslo I, con respecto a G es [math]ID\times IC=IE\times IF[/math]. Pero notamos que [math]ID\times IC[/math] también es la potencia de I con respecto a A e [math]IE\times IF[/math] será la potencia de [math]I[/math] con respecto a B. Entonces la recta perpendicular a AB que pasa por I se conoce como el eje radical.