Supón que una partícula se mueve sobre la trayectoria definida por la curva [math]y=f\left(x\right)[/math],desde un punto inicial con coordenadas [math]\left(a,f\left(a\right)\right)[/math]hasta un punto final [math]\left(b,f\left(b\right)\right)[/math].[br][br]Para responder la pregunta anterior, considera una partición del intervalo [math]\left(a,b\right)[/math] en [math]n[/math] pequeños subintervalos [math]\left(a=0,x_1\right),\left(x_1,x_2\right),..,\left(x_{n-1},x_{n=b}\right)[/math]. Observa que la distancia del punto [math]\left(x_i,f\left(x_1\right)\right)[/math] al punto [math]\left(x_{i+1},f\left(x_{i+1}\right)\right)[/math] aproxima la longitud de la curva entre esos dos puntos, y cuanto más pequeña sea la longitud del intervalo [math]\left(x_1,x_{i+1}\right)[/math], mejor será la aproximación.[br][br]Sumando las longitudes de todos los segmentos rectilíneos, obtenemos una aproximación para la longitud total de la curva:[br][br][math]L\cong\sum_{i=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i[/math][br][br]Longitud de la curva [math]y=f\left(x\right)[/math] desde [math]x=a[/math] hasta [math]x=b[/math][br][br][br][math]L=\int^b_a\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i[/math][br][br]