Um die Polynomdarstellung [math]f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math] in die Linearfaktordarstellung [math]f(x)=a\cdot(x-x_{N1})\cdot(x-x_{N2})[/math] umzuwandeln, müssen die Nullstellen [math]x_{N1}[/math] und [math]x_{N2}[/math] von [math]f(x)[/math] ausgerechnet werden. [br][br][color=#980000]Dazu muss die Gleichung[/color] [math]\fgcolor{#CC0000}{0=a\cdot x_N^2+b\cdot x_N+c}[/math] [color=#980000]nach[/color] [math]\fgcolor{#CC0000}{x_N}[/math] [color=#980000]aufgelöst werden[/color].[br][br]Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten: [br][b]Die Mitternachtsformel[/b]: [math]\bgcolor{#FFFF00}{\boxed{x_{N1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}}}[/math] oder die[br][b]Die p-q-Formel[/b]: Teilen Sie die Gleichung [math]0=a\cdot x_N^2+b\cdot x_N+c[/math] durch [math]a[/math], dabei entsteht eine Gleichung der Form [math]0=x_N^2+p\cdot x_N+q[/math] . Die dabei erhaltenen [math]p=\frac ba[/math] und [math]q=\frac ca[/math] setzt man dann in die p-q-Formel ein: [math]\bgcolor{FFFF00}{\boxed{x_{N1,2}=-\frac p2 \pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2 - q}}}[/math][br][br]Mit den so berechneten [math]x_{N1}[/math] und [math]x_{N2}[/math] und dem [math]a[/math] aus der Polynomdarstellung kann die Gleichung [math]f(x)=a\cdot(x-x_{N1})\cdot(x-x_{N2})[/math] aufgeschrieben werden.[br][br]Beispiel: [br][math]\phantom{\Rightarrow}f(x)=2\cdot x^2 + 14\cdot x + 20[/math][br][math]\Rightarrow0=2\cdot x_N^2+14\cdot x_N+20[/math][br][math]\Rightarrow0=x_N^2+7\cdot x_N+10[/math] [br]Damit die p-q-Formel anwenden:[br][math]x_{N1,2}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2-10}=-\frac{7}{2}\pm\sqrt{\frac{49}[br]{4}-\frac{40}{4}}[/math][br][math]\phantom{x_{N1,2}}=-\frac 72\pm\sqrt{\frac 94}=-\frac 72 \pm \frac 32[/math][br][math]\Rightarrow x_{N1}=-\frac{4}{2}=-2[/math] und [math]x_{N2}=-\frac{10}{2}=-5[/math][br]Damit ist die Linearfaktordarstellung:[br][math]f(x)=2\cdot(x-(-2))\cdot(x-(-5))=\underline{\underline{2\cdot(x+2)\cdot(x+5)}}[/math]