Wenn Funktionenscharen analysiert werden sollen, dann verlangt die Aufgabenstellung in der Regel das Berechnen von Nullstellen, Extremstellen oder Wendestellen [b][color=#980000]in Abhängigkeit vom Scharparameter[/color][/b].[br][br]Dazu muss man im Umgang mit Geogebra aber einiges wissen: Wenn man sich die Spur der Funktionenschar anschauen möchte, dann geht das nur im Grafikmodus. Allerdings ist das Rechnen mit eine Beibehaltung des Scharparameters als Variablennamen nur im CAS-Modus möglich.[list][*]Arbeiten Sie beim Rechnen immer im CAS-Modus von Geogebra[/*][/list][list][*]Wenn Sie eine Funktion [math]f[/math] abspeichern, die abhängig von der Variablen [math]x[/math] ist, und einen Scharparameter [math]k[/math] besitzt, dann speichern Sie diese ab unter [b][color=#0000ff]f(x,k)[/color][/b][/*][*]Wenn Sie mit der ersten Ableitung dieser Funktion rechnen wollen, dann funktioniert die intuitive Schreibweise [math]f'(x,k)[/math] [i][b]nicht[/b][/i] mehr, weil Geogebra die Information braucht, nach welchem Buchstaben das Programm ableiten soll. [list][*]Verwenden Sie daher als Befehl für die [b]erste Ableitung einer Funktionenschar[/b]: [b][color=#0000ff]Ableitung(f(x,k),x,1)[/color][/b][/*][*]Verwenden Sie als Befehl für die [b]zweite Ableitung einer Funktionenschar[/b]: [b][color=#0000ff]Ableitung(f(x,k),x,2)[/color][/b][/*][*]u.s.w.[/*][/list][/*][*]Wenn Sie schließlich die Funktionsgrafen Ihre Schar sehen wollen, dann müssen Sie den Scharparameter mit z.B. [b]k=1[color=#0000ff][/color][/b] definieren und zum Beispiel dafür einen Schieberegler erstellen lassen.[/*][br][*]Alle weiteren Rechnungen, die Sie nun mit der Funktionenschar durchführen, setzen nun aber für das [math]k[/math] automatisch den eingestellten Wert ein. Um wieder Ergebnisse in Abhängigkeit des Scharparameters [math]k[/math] zu erhalten, muss die Zeile, in der der Parameter definiert wurde, zuerst wieder gelöscht werden[/*][/list][br][br]Wenn schließlich der Scharparameter definiert und als Schieberegler angezeigt wird, kann es passieren, dass der Funktionsgraf der Funktionenschar nicht zu sehen ist. Dann hilft oft ein Wechsel in den Grafikmodus und wieder zurück in den CAS-Modus des Programmes. [br][br]Abhängig vom Betriebssystem scheint es in manchen Fällen sogar nötig, [b]zuerst[/b] den Scharparameter und dann die Funktionenschar zu definieren, um letztere als Funktionsgraf sehen zu können.[br][br]Probieren Sie alles so oft wie möglich aus, um sich dabei sicher zu fühlen.[br][br]

Die Funktionenschar für die Flugparabel des Fussballs lautete: [math]h_v(x)=-\frac{127}{v^2}\, x^2+x[/math][br]Abspeichern in Geogebra: [b][color=#0000ff]h(x,v)=-127/v^2*x^2+x[/color][/b][br]Flugweite, also Nullstellen berechnen: [math]h_v(x)=0[/math][br]Geogebra: [b][color=#0000ff]Löse(h(x,v)=0)[/color][/b] [math]\Rightarrow[/math] [math]x_{N1}=0[/math] und [math]x_{N2}=\frac{1}{127}v^2[/math][br]Die Flugweite in Abhängigkeit von v ist also [math]W(v)=\frac 1{127}\,v^2[/math][br]Berechnen des Hochpunktes: [br][b]Notwendige Bedingung[/b]: [math]h_v'(x_E)=0[/math][br]Berechnen der eresten Ableitungsfunktion: [b][color=#0000ff]h1(x,k)=Ableitung(h(x,k),x,1)[/color][/b] [br][math]\Rightarrow h_v'(x,k)=-\frac {254}{v^2}\,x+1[/math] [br]Damit [b][color=#0000ff]Löse(h1(x,k)=0)[/color][/b] [math]\Rightarrow[/math] [math]x_E=\frac{1}{254}\,v^2[/math][br][b]Hinreichende Bedingung[/b]: [math]h_v''(x_E)[/math] Dazu erst [math]h_v''(x)[/math] berechnen: [b][color=#0000ff]h2(x)=Ableitung(h(x,k),x,2)[/color][/b][br][math]\Rightarrow[/math] [math]h_v''(x)=-\frac{254}{v^2}[/math] Diese Funktion ist offenbar unabhängig von [math]x[/math] und kleiner als Null, daher ist bei [math]x_E[/math] ein Hochpunkt.[br][b]Funktionswert berechnen: [math]h(x_E)[/math][br][color=#0000ff]h(1/254*v^2 , v)[/color][/b] ([color=#980000]nicht das ",v" am Ende vergessen!![/color])[br][math]\Rightarrow[/math] [math]h_v(\frac 1{254}\,v^2)=\frac{1}{508}\,v^2[/math][br]Der Hochpunkt der Flugparabel des Fussballs lautet also: [math]\mathbf H\Big(\frac{1}{254}\,v^2 \Big \vert \frac{1}{508}\,v^2 \Big)[/math][br]

Testen Sie alles, indem Sie alle Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte der Funktionenschar [math]f_k(x)=(k\cdot x^2-4)\cdot e^{-\frac{x}{2}}[/math] berechnen. Dabei ist es sehr hilfreich, die Terme der Ableitungsfunktionen [math]f_k'(x)[/math] und [math]f_k''(x)[/math] entweder händisch oder mit der Anweisung "[b][color=#0000ff]Vereinfache()[/color][/b]" erst zu vereinfachen, bevor die notwendigen Bedingungen für Extrem- und Wendestellen berechnet werden.[br][br]Unten sind die Lösungen für die Nullstellen und die Extrempunkte in einer pdf-Datei, zum Vergleichen.