Krug i kružnica

Jelena Crnjac, Mar 13, 2020

U ovoj nastavnoj cjelini ponovit ćemo osnovne pojmove o krugu i kružnici, otkriti međusobne odnose kružnice i pravca te dviju kružnica. Nadalje, definirati ćemo pojam središnjeg i obodnog kuta te iskazati poučak o središnjem i obodnom kutu te Talesov poučak. Na samom kraju nastavne cjeline definirat ćemo važnu matetmatičku konstantu Pi te otkriti formle za opseg i površinu kruga.

Table of Contents

  1. Osnovni pojmovi
    1. Kružnica
    2. Osnovni pojmovi
    3. Kratka provjera
  2. Međusoban položaj kružnice i pravca
    1. Istraži!
    2. Konstrukcija tangente
    3. Konstrukcija kružnice
    4. Zadaci
    5. Ponovimo!
  3. Međusoban položaj dviju kružnica
    1. Odnos dviju kružnica
    2. Primjeri!
    3. Zadaci za vježbu
    4. Kratka provjera
  4. Kružni luk i njegov središnji kut
    1. Središnji kut
    2. Primjeri
    3. Zadaci za vježbu
  5. Kružni luk i njegovi obodni kutovi
    1. Obodni kut
    2. Primjeri
    3. Zadaci za vježbu
    4. Kratka provjera
  6. Poučak o središnjem i obodnom kutu
    1. Poučak o središnjem i obodnom kutu
    2. Talesov poučak
    3. Zadaci za vježbu
    4. Kratka provjera
  7. Duljina kružnice i kružnog luka
    1. Eksperiment!
    2. Opseg kruga
    3. Zadaci za vježbu
  8. Površina kruga i kružnog isječka
    1. Površina kruga
    2. Zadaci za vježbu
  9. Štoperica 4.A
    1. Štoperica
    2. Ponavljanje
  10. Ponavljanje
    1. Priprema za 4. ispit znanja

1.

Osnovni pojmovi

  • 1. Kružnica
  • 2. Osnovni pojmovi
  • 3. Kratka provjera

1.1.

Kružnica

Postavljen jest Geogebra applet unutar kojeg jest definiran pojam kružnice te su istaknuti promjer, polumjer, tetiva, kružni luk i kružni isječak. Pokušaj samostalno definirati navedene pojmove promatrajući sliku. Primjerice, promatramo polumjer. Odredimo je li to dužina, pravac polupravac. Ako je dužina što su krajne točke, po čemu se razlikuje od promjera?
– Jelena Crnjac

1.2.

–

1.3.

–

2.

Međusoban položaj kružnice i pravca

  • 1. Istraži!
  • 2. Konstrukcija tangente
  • 3. Konstrukcija kružnice
  • 4. Zadaci
  • 5. Ponovimo!

2.1.

Istraži!

Muđusoban položaj pravca i kružnice
Kružnica i pravac imaju 2 zajedničke točke[color=#ff0000].[/color][br][u][b]Def.[/b][/u] Pravac koji ima točno dvije zajedničke točke s kružnicom naziva se sekanta.[br][br]Kružnica i pravac imaju 1 zajedničku točku.[br][u][b]Def.[/b][/u] Pravac koji ima točno jednu zajedničku točku s kružnicom naziva se tangenta.[br][br]Kružnica i pravac NEMAJU zajedničkih točaka.
– Jelena Crnjac

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

Međusoban položaj dviju kružnica

  • 1. Odnos dviju kružnica
  • 2. Primjeri!
  • 3. Zadaci za vježbu
  • 4. Kratka provjera

3.1.

Odnos dviju kružnica

U nastavku je Geogebra applet pomoću kojeg jest potrebno istražiti u kojem sve muđusobnom odnosu mogu biti dvije kružnice. [br]Kružnica [math]k_1[/math] jest fiksna dok kružnicu [math]k_2[/math] možete premjestiti u bilo koji položaj. Dovoljno jest kliknuti na kružnici i povući na željeno mjesto.
– Jelena Crnjac

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Kružni luk i njegov središnji kut

  • 1. Središnji kut
  • 2. Primjeri
  • 3. Zadaci za vježbu

4.1.

Središnji kut

U sljedećem Geogebra uratku definiran jest središnji kut. Posebno je istaknut klizač [math]\beta[/math] pomoću kojeg možemo mijenjati veličinu središnjeg kuta i pridruženog odgovarajućeg kružnog luka.[justify][/justify]
[b][u]Def.[/u][/b] Kut kojemu je vrh središte kružnice naziva se [color=#ff0000][b]središnji kut.[br][/b][br][/color]Središnjem kutu [math]\angle ASB[/math]pridružen je kružni luk [math]AB[/math]. Vrijedi i obrat tj. jednom kružnom luku pridružen je točno jedan središnji kut.[br][br][u][b]Važno![/b][/u][br]Veličina središnjeg kuta manja je od [math]360^\circ[/math].
– Jelena Crnjac

4.2.

–

4.3.

–

5.

Kružni luk i njegovi obodni kutovi

  • 1. Obodni kut
  • 2. Primjeri
  • 3. Zadaci za vježbu
  • 4. Kratka provjera

5.1.

Obodni kut

[justify]U predhodnoj nastavnoj jedinici definirali smo pojam središnjeg kuta i odgovarajućeg kružnog luka. Sada ćemo definirati pojam[br]obodnog kuta te vidjeti koje su razlike i sličnosti navedenih kutova.[/justify]
Središnji i obodni kut
[b][u]Def. [/u][/b]Kut čiji je vrh središte kružnice naziva se [color=#ff0000]središnji kut.[br][/color]Središnji kut [math]\angle ASB[/math] sadrži kružni luk [math]AB[/math] (suprotno od kazaljke na satu). Jednom središnjem kutu pridružen je jedan kružni[br]luk. Vrijedi i obrat.[br][br][u][b]Def.[/b][/u] Kut čiji je vrh bilo koja točka koja pripada kružnici i čiji kraci sijeku kružnicu u dvjema točkama naziva se [color=#ff0000]obodni kut.[br][/color]Obodnom kutu [math]\angle AVC[/math] pridružen je kružni luk [math]AC[/math]. Jednom obodnom kutu pridružen je jedan kružni luk. Obrat ne vrijedi! [br]Nad jednim kružnim lukom možemo konstruirati beskonačno mnogo obodnih kutova.
– Jelena Crnjac

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

6.

Poučak o središnjem i obodnom kutu

  • 1. Poučak o središnjem i obodnom kutu
  • 2. Talesov poučak
  • 3. Zadaci za vježbu
  • 4. Kratka provjera

6.1.

Poučak o središnjem i obodnom kutu

[justify]U sljedećem video uratku ponovljeni su pojmovi središnjeg i obodnog kuta. Posebice jest[br]promatran obodni kut nad kružnim lukom [math]AB[/math]. Rekli smo kako nad jednim kružnim[br]lukom možemo konstruirati beskonačno mnogo obodnih lukova pa se sada postavlja[br]pitanje što je s veličinama tih obodnih kutova?[/justify]
Poučak o obodnom kutu
[color=#ff0000][b]POUČAK O OBODNOM KUTU[br][/b][/color][br][color=#1e84cc][b]Obodni kutovi nad istim kružnim lukom su jednakih veličina.[/b][/color]
[justify]U nastavku imamo video uradak unutar kojeg smo promatrali mjere središnjeg i obodnog[br]kuta ako su pridruženi istom kružnom luku. Što mislite postoji li poveznica između [br]navedenih kutova? Kakva?[/justify]
Poučak o središnjem i obodnom kutu
[b][color=#ff0000]POUČAK O SREDIŠNJEM I OBODNOM KUTU[br][/color][/b][br][color=#1e84cc][b]Ako su središnji i obodni kut pridruženi istom kružnom luku, onda je veličina[br]središnjeg kuta dvostruko veća od veličine obodnog kuta.[br][/b][/color][br][math]\alpha[/math] - veličina središnjeg kuta[br][math]\beta[/math] - veličina obodnog kuta[br][br][b]VRIJEDI:[/b] [math]\alpha=2\beta[/math][b][center][size=150][color=#ff0000][size=200][/size][/color][/size][/center][/b]
U sljedećem video uratku demonstrirana jest primjena poučka o središnjem i obodnom kutu na konkretnom zadatku.
Primjena poučka o središnjem i obodnom kutu
403: Invalid response for http://www.youtube.com/oembed?format=json&maxwidth=620&maxheight=300&url=http%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DkC8a9P9B-b4
– Jelena Crnjac

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

7.

Duljina kružnice i kružnog luka

  • 1. Eksperiment!
  • 2. Opseg kruga
  • 3. Zadaci za vježbu

7.1.

Eksperiment!

[b]Potrebni materijal: [/b]kovanica od 1kn, 2kn, 5kn, čaša, cd, konac, ravnalo (krojački metar)[br][b]Opis aktivnosti: [/b]čvrsto omotajte konac oko kovanica, čaše i cd-a kako biste odredili [br]duljinu kružnice, a zatim odredite promjere zadanih stvari.
Podatke popunite u tablicu:[br][br]
Zatim izračunajte omjere duljina tih kružnica i duljina njihovih promjera.
Do kakvih ste zaključaka došli? Zapišite u bilježnicu svoja zapažanja.
– Jelena Crnjac

7.2.

–

7.3.

–

8.

Površina kruga i kružnog isječka

  • 1. Površina kruga
  • 2. Zadaci za vježbu

8.1.

Površina kruga

Pogledajte sljedeću animaciju kako biste otkrili formulu za površinu kruga.[br][url=https://www.geogebra.org/m/EthHnQRK]Klikni ovdje![/url]
U sljedećem video uratku objašnjavamo i izvodimo formule za površinu kruga i kružnog isječka. [br]Također, unutar video uratka riješeno nekoliko konkretnih zadataka primjenom navedenog.
[b][u][color=#ff0000]Upamti sljedeće formule:[/color][br][/u][/b][b][br][color=#ff0000]POVRŠINA KRUGA[/color][br][/b][br][math]P=r^2\pi[/math][br][math]r[/math] - duljina polumjera kruga (radijus)[br][br][b][color=#ff0000]POVRŠINA KRUŽNOG ISJEČKA[/color][br][br][math]P=r^2\pi\frac{\alpha}{360^{\circ}}[/math][br][br][math]r[/math][/b]- radijus[br][math]\alpha[/math]- veličina odgovarajućeg središnjeg kuta[br]
– Jelena Crnjac

8.2.

–

9.

Štoperica 4.A

  • 1. Štoperica
  • 2. Ponavljanje

9.1.

Štoperica

U sljedećem video uratku riješena je štoperica 4.A. Vaš zadatak jest da paralelno gledate i rješavate navedene zadatke.
– Jelena Crnjac

9.2.

–

10.

Ponavljanje

  • 1. Priprema za 4. ispit znanja

10.1.

Priprema za 4. ispit znanja

U ovom video uratku kratko su ponovljeni temeljni pojmovi nastavne cjeline "Krug i kružnica" te riješeni i objašnjeni važniji tipovi zadataka.
– Jelena Crnjac

Information