Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] [b]continua[/b] nell'intervallo [math]\large\bf\left[a,b\right]\subseteqq D(f)[/math], si definisce funzione integrale[br][br][center][math]\Large\bf F\left(x\right)=\int_a^x{f(t)\;dt}[/math][/center][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]

Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] [b]continua[/b] nell'intervallo [math]\large\bf\left[a,b\right]\subseteqq D(f)[/math], la funzione integrale [math]\large\bf F\left(x\right)=\int_a^x{f(t)\;dt}[/math] è una primitiva di [math]\large\bf f\left(x\right)[/math] ovvero:[center][math]\Large\bf F'\left(x\right)=f\left(x\right)[/math][/center]

Si considera la definizione di derivata delle funzione integrale per un generico punto [math]\large\bf x_0\in\left]a,b\right[[/math], ovvero:[br][math]\large F'\left(x_0\right)=\lim_{x\to x_0}\frac{F\left(x\right)-F\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math][br]applicando la definizione di funzione integrale si ha:[br][math]\large F'\left(x_0\right)=\lim_{x\to x_0}\frac{F\left(x\right)-F\left(x_0\right)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\int_a^xf\left(t\right)dt-\int_a^{x_0}f\left(t\right)dt}{x-x_0}[/math][br]Applicando la proprietà 5 degli integrali definiti si ha:[br][math]\large F'\left(x_0\right)=\lim_{x\to x_0}\frac{\textcolor{#E94D40}{{\int_a^xf\left(t\right)dt}}-\int_a^{x_0}f\left(t\right)dt}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{{\textcolor{#E94D40}{\cancel{\int_a^{x_0}f\left(t\right)dt}}+\int_{x_0}^x f\left(t\right)dt}-\textcolor{#E94D40}{\cancel{\int_a^{x_0}f\left(t\right)dt}}}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\int_{x_0}^xf\left(t\right)dt}{x-x_0}[/math][br]Considerando che per ipotesi la funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] è [b]continua[/b] nell'intervallo [math]\large\bf\left[a,b\right]\subseteqq D(f)[/math], e quindi anche nell'intervallo [math]\large\bf\left[x_0,x\right]\subset \left[a, b\right][/math], vale il [b]Teorema della media integrale[/b] nell'intervallo [math]\large\bf\left[x_0,x\right][/math], ovvero[br][center][math]\large\bf \exists\ \overline{x}\in\left[x_0,\ x\right]\ /\int_{x_0}^xf(t)dt=f\left(\overline{x}\right)\cdot\left(x-x_0\right)[/math][/center]Riprendendo l'espressione precedente si ha:[br][math]\large F'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\int_{x_0}^xf(t)dt}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f\left(\overline{x}\right)\cdot\cancel{\left(x-x_0\right)}}{\cancel{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(\overline{x}\right)[/math][br]Visto che [math]\large\bf x_0\lt \bar{x} \lt x[/math], allora per[math]\large\bf x\longrightarrow x_0\ \Rightarrow\overline{x}\longrightarrow x_0[/math], quindi[br][math]\large F'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}f\left(\overline{x}\right)=\lim_{\overline{x}\rightarrow x_0}f\left(\overline{x}\right)=f\left(x_0\right)[/math][br]in quanto la funzione per ipotesi è continua.[br]In conclusione, generalizzando [math]\large\bf x_0[/math] in [math]\large\bf x[/math][br][center][math]\Large\bf F'\left(x\right)=f\left(x\right)[/math][/center][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]