パップスの定理とパスカルの定理

Bunryu Kamimura, Nov 23, 2017

この二つの定理は、交点が一直線上に並んでいる所は同じだがその直線の位置が違っている。 あれ？何だ、同じ現象しゃないか！と気がつく。 この現象を、極線という概念でとらえなおすとどう見えるのだろうか？ パスカル線、パップス線、オイラー線、ハウセル線などは、みな三角形の極線と考えることができる。 そして、三角形と二次曲線は密接につながっていることが少しずつ見えてくる。 これらの現象をまとめたもの⇒【[url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/kyokusen.htm[/url]】

Table of Contents

  1. パップスの定理とパスカルの定理の関係
    1. Pappus's hexagon theorem3
    2. パスカルの定理　Pascal's　theorem
    3. パップスとパスカル
    4. パップスの六角形の作る直線
    5. パスカルとブリアンション
    6. パスカルの定理とブリアンションの定理の証明
  2. パスカル線と極線の関係
    1. 極と極線の極線
    2. パスカルの六角形の極線
    3. 楕円に内接する六角形の作る極線
    4. パスカル六角形とブリアンション六角形
  3. 三角形の極と極線と二次曲線
    1. パスカルとブリアンションと楕円
    2. ナポレオン点と内接楕円
    3. 等距離六角形のパスカルの直線の極線
    4. パスカル線の包絡線の作図
  4. 二次曲線と多角形
    1. 見えてきたこと
    2. 外接三角形が一点で交わることの証明
    3. チェバの定理
    4. 外接３・４・５・６角形
    5. 楕円の外接三角形の極線
    6. 楕円の接線三角形と極線
    7. 基本の絵から

1.

パップスの定理とパスカルの定理の関係

パップスの定理とパスカルの定理は同じ現象の順番が異なるだけ。それを、点を入れ替えて確かめてみよう。 最後のシート「パスカルの定理とブリアンションの定理」で両方の定理の証明も入れた。

  • 1. Pappus's hexagon theorem3
  • 2. パスカルの定理　Pascal's　theorem
  • 3. パップスとパスカル
  • 4. パップスの六角形の作る直線
  • 5. パスカルとブリアンション
  • 6. パスカルの定理とブリアンションの定理の証明

1.1.

Pappus's hexagon theorem3

この定理は双曲線でも成り立つと思いますか？
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

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1.5.

–

1.6.

–

2.

パスカル線と極線の関係

では、パスカル線と極線の関係はどうなっているのだろうか？ パスカル線上に極点を取って、その極線の包絡線を調べることでパスカル線の三角形と極がわかるはず。

  • 1. 極と極線の極線
  • 2. パスカルの六角形の極線
  • 3. 楕円に内接する六角形の作る極線
  • 4. パスカル六角形とブリアンション六角形

2.1.

極と極線の極線

極線の上に極点を持っていったら極線はどうなるのだろうかと疑問に思った。極線ＭＮ上の点Ｄを動かしてみると、極線（青）はどう動くのだろうか。極と極線の二重の関係がわかってくる。Ｉを三角形の外に出すと、Ｄが三角形の中に来て極と極線の関係がよくわかる。
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

三角形の極と極線と二次曲線

そうなると、三角形の等距離共役点がつくる二次曲線とパスカルの楕円との関係が気になってくる。 どうやら三角形と二次曲線との間には密接な関係がある。

  • 1. パスカルとブリアンションと楕円
  • 2. ナポレオン点と内接楕円
  • 3. 等距離六角形のパスカルの直線の極線
  • 4. パスカル線の包絡線の作図

3.1.

パスカルとブリアンションと楕円

一点で交わるということはそこに楕円に外接する六角形がある（Ｓ）。緑の交点は△ＱＫＲの極点。
気がついたこと
パップス線（赤）とブリアンションの線（緑）が一致するのは、外接六角形が内接六角形になる時。[br]ブリアンションの定理とパスカルの定理は双対定理（線と点の双対性）なのだが、具体的にはこういうことなのかもしれない。
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

二次曲線と多角形

これまでの作図から見えてきたこと このまとめと証明は 「円に外接する多角形の極と極線」へ [url]https://www.geogebra.org/m/x88Gz83K[/url]

  • 1. 見えてきたこと
  • 2. 外接三角形が一点で交わることの証明
  • 3. チェバの定理
  • 4. 外接３・４・５・６角形
  • 5. 楕円の外接三角形の極線
  • 6. 楕円の接線三角形と極線
  • 7. 基本の絵から

4.1.

見えてきたこと

二つのコトの間をつなぐコト
１、パップスとパスカルの六角形は、二次曲線上の順番が異なるだけ。[br]　　パスカルとブリアンションの六角形は、二次曲線の内接六角形と外接六角形。[br]　　これは二次曲線に内接したり外接する多角形は、特別な性質を持っている。[br]２、パスカルの六角形とオイラーの三角形は、三角形の極と極線とみなせる。[br]３、三角形の極と極線は、内接二次曲線と密接につながっている。[br]４、楕円の外接多角形から極線を作成し、極線上の点から極線を作ると、元の楕円に戻る。[br][br]つまり、二次曲線の外接多角形が根本。
右図の点ＫＬＭで△ＧＨＩに内接する楕円をどう描けばいいのだろうか？・・・この作図には極線が必要となる。極線がこの二つの絵を繋ぐ媒介。
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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